《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

7. (教材$P_{48}练习T_{2}$变式)如图,已知$\triangle ABC外一点O$,以点$O$为位似中心,将$\triangle ABC按相似比\frac{1}{2}$缩小(不写作法,请保留作图痕迹).

作出的$\triangle A'B'C'$即为所求（图形见上述解析过程）。

答案： 作出的$\triangle A'B'C'$即为所求（图形见上述解析过程）。

8. 如图,$\triangle ABC与\triangle DEF$位似,点$O$是它们的位似中心,且相似比为$\frac{1}{2}$,有下列结论：①$\frac{AO}{OE}= \frac{1}{2}$；②$\frac{AB}{DE}= \frac{1}{2}$；③$\triangle BCO \backsim \triangle EFO$；④$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEF}}= \frac{\sqrt{2}}{2}$. 其中正确的个数为(B)

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$

答案： B

9. 如图,图中的小方格都是边长为$1$的小正方形,$\triangle ABC与\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}是以点O$为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上.
(1)画出位似中心点$O$；
(2)求$\triangle ABC与\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$的相似比$\frac{1}{2}$；
(3)以点$O$为位似中心,在网格中再画一个$\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$,使它与$\triangle ABC的相似比为\frac{3}{2}$.

答案：
(1)略
(2)$\frac{1}{2}$
(3)略

10. 如图,矩形$ABCD的对角线AC与BD相交于点O$,点$E$,$F$,$G$,$H分别是OA$,$OB$,$OC$,$OD$的中点,四边形$EFGH与矩形ABCD$是位似图形吗？如果是,指出位似中心,并求出其相似比；如果不是,请说明理由.

是位似图形，位似中心是点O，相似比为$\frac{1}{2}$.

答案： 解:
∵点 E,F,G,H 分别是 OA,OB,OC,OD 的中点,
∴$EF// AB$,且$EF=\frac{1}{2}AB$,
$EH// AD$,且$EH=\frac{1}{2}AD$,
$FG// BC$,且$FG=\frac{1}{2}BC$,
$GH// CD$,且$GH=\frac{1}{2}CD$.
∴$∠FEG=∠BAC$,$∠GEH=∠CAD$.
∴$∠FEG+∠GEH=∠BAC+∠CAD$,
即$∠FEH=∠BAD$.
又四边形 ABCD 是矩形,
∴$AB// CD$,且$AB=CD$,$∠BAD=90^{\circ}$.
∴$EF// GH$,$EF=GH$,$∠FEH=90^{\circ}$.
∴四边形 EFGH 是矩形.
∵$\frac{EF}{AB}=\frac{FG}{BC}=\frac{GH}{CD}=\frac{HE}{DA}=\frac{1}{2}$,
∴矩形 EFGH 与矩形 ABCD 相似,且相似比为$\frac{1}{2}$.
又矩形 EFGH 与矩形 ABCD 的对应顶点的连线相交于点 O,
∴矩形 EFGH 与矩形 ABCD 是位似图形,位似中心是点 O,相似比为$\frac{1}{2}$.