《2025年资源库高中物理人教版》

例153 如图1-6-27所示,在P点把一个质量$m= 1kg$的小球通过两根等长的细绳与竖直杆上A、B两个固定点相连接,绳a、b长都是1m,AB长度是1.6m,直杆和球旋转的角速度为多少时,b绳上才有张力？(重力加速度g取10m/s^2)



【解析】当b绳刚好伸直且无张力时的角速度为临界角速度。
如图1-6-28所示,已知a、b绳长均为1m,即$\overline{AP}= \overline{BP}= 1m$,$\overline{AO}= \frac{1}{2}\overline{AB}= 0.8m$,
在$\triangle AOP$中,$\cos\theta=\frac{\overline{AO}}{\overline{AP}}= \frac{0.8m}{1m}= 0.8$,故$\theta=37^{\circ}$,
小球做圆周运动的轨迹半径为$r= \overline{OP}= \overline{AP}\cdot\sin\theta=1×0.6m= 0.6m$,
b绳被拉直但无张力时,小球所受的重力mg与a绳拉力$F_{Ta}$的合力F提供向心力,$F= mg\tan\theta$,
根据牛顿第二定律得$F= mg\tan\theta=m\cdot\omega^{2}r$,
解得直杆和球的角速度为$\omega=\sqrt{\frac{g\tan\theta}{r}}= \sqrt{\frac{10×\tan37^{\circ}}{0.6}}rad/s= \frac{5\sqrt{2}}{2}rad/s$。

当直杆和球旋转的角速度$\omega＞\frac{5\sqrt{2}}{2}rad/s$时,b绳上才有张力。
【答案】大于$\frac{5\sqrt{2}}{2}rad/s$

答案： 大于$\frac{5\sqrt{2}}{2}\,rad/s$

例154 [黑吉辽2024·2]“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧. 如图1-6-29,当篮球在指尖上绕轴转动时,球面上$P$、$Q$两点做圆周运动的( )


A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
【解析】由图1-6-30可知$r_{P}＜r_{Q}$,A错误；篮球绕轴转动时,$P$、$Q$在相同时间内转过的圆心角相等,根据$\omega=\frac{\theta}{t}$可知,$\omega_{P}= \omega_{Q}$,D正确；根据$v= \omega r$可知,线速度$v_{P}＜v_{Q}$,B错误；根据$a= \omega^{2}r$可知,向心加速度$a_{P}＜a_{Q}$,C错误.
【答案】D

答案： D

例155 [江苏2024·11]如图1-6-31所示,细绳穿过竖直的管子拴住一个小球,让小球在$A$高度处做水平面内的匀速圆周运动,现用力将细绳缓慢下拉,使小球在$B$高度处做水平面内的匀速圆周运动,小球两次做匀速圆周运动的半径相同,不计一切摩擦,则(C)
A.线速度$v_{A}＞v_{B}$

B.角速度$\omega_{A}= \omega_{B}$
C.向心加速度$a_{A}＜a_{B}$
D.向心力$F_{A}＞F_{B}$
【解析】如图1-6-32,设绳与竖直方向的夹角为$\theta$,小球做匀速圆周运动半径为$r$,由牛顿第二定律得$mg\tan\theta=m\frac{v^{2}}{r}$,解得$v= \sqrt{gr\tan\theta}$,由图知$\theta_{A}＜\theta_{B}$,则$v_{A}＜v_{B}$,A错误；设球到管口的高度差为$h$,由牛顿第二定律得$mg\tan\theta=m\omega^{2}r$,解得$\omega=\sqrt{\frac{g\tan\theta}{r}}$,已知$\tan\theta=\frac{r}{h}$,则$\omega=\sqrt{\frac{g}{h}}$,又因为$h_{A}＞h_{B}$,故$\omega_{A}＜\omega_{B}$,B错误；由牛顿第二定律得$mg\tan\theta=ma$,解得$a= g\tan\theta$,$\theta_{A}＜\theta_{B}$,则$a_{A}＜a_{B}$,C正确；向心力$F= mg\tan\theta$,$\theta_{A}＜\theta_{B}$,则$F_{A}＜F_{B}$,D错误.


【答案】C

答案： C