《2025年资源库高中物理人教版》

例272 如图1-10-30,O、A、B为同一斜面内的三个点,OB沿斜面向下,$\angle BOA = 60°$,$OB = \frac{3}{2}OA$。将一质量为m的小球以初速度$v_0$自O点平行斜面水平向右抛出,小球在运动过程中恰好通过A点。令该小球带电,电荷量为$q(q ＞ 0)$,同时加一匀强电场,场强方向与$\triangle OAB$所在平面平行,现该小球从O点以同样的速率沿某一平行斜面方向抛出,该小球也恰好通过A点,到达A点时的动能为初动能的3倍；若该小球从O点以同样的速率沿另一平行斜面方向抛出,恰好通过B点,且到达B点的动能为初动能的6倍。重力加速度大小为g,固定光滑斜面的倾角$\theta = 30°$。求：

(1)无电场时,小球到达A点时的速度大小；
(2)OA、OB的电势差$U_{OA}$、$U_{OB}$；
(3)电场强度的大小和方向。
【解析】 (1)等效重力加速度$g' = g\sin\theta = \frac{1}{2}g$。
无电场时,小球做类平抛运动,则
水平方向$x_{OA}\sin60° = v_0t$,
沿斜面方向$x_{OA}\cos60° = \frac{1}{2}g't^2$,
解得时间$t = \frac{2\sqrt{3}v_0}{3g'}$,
沿斜面向下方向速度$v_y = g't = \frac{2\sqrt{3}}{3}v_0$,
则经过A点的速度大小为$v_A = \sqrt{v_0^2 + v_y^2} = \frac{\sqrt{21}}{3}v_0$。
(2)设小球的初动能为$E_{k0} = \frac{1}{2}mv_0^2$,从O点到A点,没有加电场时,根据动能定理有
$mg'x_{OA}\cos60° = \frac{1}{2}mv_A^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{4}{3}E_{k0}$,
得$mg'x_{OA} = \frac{8}{3}E_{k0}$,$mg'x_{OB} = 4E_{k0}$。
加电场后小球通过A点,根据动能定理有
$mg'x_{OA}\cos60° + qU_{OA} = 3E_{k0} - E_{k0} = 2E_{k0}$,
联立可得$qU_{OA} = \frac{2}{3}E_{k0}$,
解得$U_{OA} = \frac{mv_0^2}{3q}$。
加电场后小球恰好通过B点,根据动能定理有
$mg'x_{OB} + qU_{OB} = 6E_{k0} - E_{k0} = 5E_{k0}$,
联立可得$qU_{OB} = E_{k0}$,
解得$U_{OB} = \frac{mv_0^2}{2q}$。
(3)设直线OB上的M点与A点等电势,如图1-10-31所示,有$\frac{OM}{OB} = \frac{U_{OA}}{U_{OB}} = \frac{2}{3}$。
根据M点与A点电势相等,直线MA即为匀强电场的等势线,中线OC与MA垂直,即OC为电场线,设电场线与OB的夹角为$\alpha$,则有$\alpha = 30°$,
根据正电荷从O到B电场力做正功,得电场方向平行斜面向右下与OB成30°,
从O到A电场力做功$W = qEx_{OC} = qU_{OA}$,
整理可得$E = \frac{\sqrt{3}mg}{12q}$。

【答案】 (1)$\frac{\sqrt{21}}{3}v_0$ (2)$\frac{mv_0^2}{3q}$ $\frac{mv_0^2}{2q}$ (3)$\frac{\sqrt{3}mg}{12q}$,平行斜面向右下与OB成30°

答案：
(1)等效重力加速度$g' = g\sin\theta=\frac{1}{2}g$，
水平方向$x_{OA}\sin60^{\circ}=v_0t$，
沿斜面方向$x_{OA}\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}g't^2$，
解得$t = \frac{2\sqrt{3}v_0}{3g'}$，
沿斜面向下方向速度$v_y = g't=\frac{2\sqrt{3}}{3}v_0$，
经过$A$点的速度大小$v_A=\sqrt{v_0^2 + v_y^2}=\frac{\sqrt{21}}{3}v_0$。
(2)小球的初动能$E_{k0}=\frac{1}{2}mv_0^2$，
从$O$点到$A$点，没有加电场时，根据动能定理有$mg'x_{OA}\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}mv_A^2 - \frac{1}{2}mv_0^2=\frac{4}{3}E_{k0}$，
得$mg'x_{OA}=\frac{8}{3}E_{k0}$，$mg'x_{OB}=4E_{k0}$，
加电场后小球通过$A$点，根据动能定理有$mg'x_{OA}\cos60^{\circ}+qU_{OA}=3E_{k0}-E_{k0}=2E_{k0}$，
联立可得$qU_{OA}=\frac{2}{3}E_{k0}$，
解得$U_{OA}=\frac{mv_0^2}{3q}$，
加电场后小球恰好通过$B$点，根据动能定理有$mg'x_{OB}+qU_{OB}=6E_{k0}-E_{k0}=5E_{k0}$，
联立可得$qU_{OB}=E_{k0}$，
解得$U_{OB}=\frac{mv_0^2}{2q}$。
(3)设直线$OB$上的$M$点与$A$点等电势，有$\frac{OM}{OB}=\frac{U_{OA}}{U_{OB}}=\frac{2}{3}$，
根据$M$点与$A$点电势相等，直线$MA$即为匀强电场的等势线，中线$OC$与$MA$垂直，即$OC$为电场线，设电场线与$OB$的夹角为$\alpha$，则有$\alpha = 30^{\circ}$，
根据正电荷从$O$到$B$电场力做正功，得电场方向平行斜面向右下与$OB$成$30^{\circ}$，
从$O$到$A$电场力做功$W = qEx_{OC}=qU_{OA}$，
整理可得$E=\frac{\sqrt{3}mg}{12q}$。
答案为：
(1)$\frac{\sqrt{21}}{3}v_0$；
(2)$U_{OA}=\frac{mv_0^2}{3q}$，$U_{OB}=\frac{mv_0^2}{2q}$；
(3)$E=\frac{\sqrt{3}mg}{12q}$，方向平行斜面向右下与$OB$成$30^{\circ}$。