《2025年资源库高中物理人教版》

例 128 [海南高考]如图 1 - 5 - 27 所示,水平地面上有一个坑,其竖直截面为半圆,ab 为沿水平方向的直径。若在 a 点以初速度$v_{0}$沿 ab 方向抛出一小球,小球会击中坑壁上的 c 点。已知重力加速度为 g,c 点与水平地面的距离为圆半径的一半,求圆的半径。
$\dfrac{4v_{0}^{2}}{(7 + 4\sqrt{3})g}$

答案： $\boxed{\dfrac{4v_{0}^{2}}{(7 + 4\sqrt{3})g}}$

例 129 图 1 - 5 - 28 为某排球场的示意图,排球场总长为 18 m,设网高为 2 m,运动员站在离网 3 m 的线上竖直跳起,正对网将球水平击出。设击球点的高度为 2.5 m,g 取 $10m/s^{2}$,试问：
(1)运动员击球的速度$v_{0}$在什么范围内,才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值,那么无论球被水平击出时的速度为多大,球不是触网就是出界,试求出此高度。

【解析】(1)设运动员击球的最小速度为$v_{1}$,球恰不触网即擦网上边缘而过,如图 1 - 5 - 29 所示的 PA 轨迹,根据平抛运动的规律有$s_{1}= v_{1}t_{1}$ ①
$h_{2}-h_{1}= \dfrac{1}{2}gt_{1}^{2}$ ②
由①②得$v_{1}= 3\sqrt{10}m/s$。
设运动员击球的最大速度为$v_{2}$,球恰不出界即恰好到达右边界,如图 1 - 5 - 29 所示的 PB 轨迹,根据平抛运动的规律有$s_{1}+s_{2}= v_{2}t_{2}$ ③
$h_{2}= \dfrac{1}{2}gt_{2}^{2}$ ④
由③④得$v_{2}= 12\sqrt{2}m/s$。
所以$3\sqrt{10}m/s\leqslant v_{0}\leqslant 12\sqrt{2}m/s$。

(2)设运动员击球点的高度为$h_{3}$时,以某一速度击球,该球既擦到网的上边缘又到达右边界,如图 1 - 5 - 30 所示的 QAB 轨迹,这是一条临界轨迹,如果击球速度变小则一定触网,如果速度变大则一定出界。根据平抛运动的规律有
$Q\to A:s_{1}= vt_{3}$ ⑤
$h_{3}-h_{1}= \dfrac{1}{2}gt_{3}^{2}$ ⑥
$Q\to B:s_{1}+s_{2}= vt_{4}$ ⑦
$h_{3}= \dfrac{1}{2}gt_{4}^{2}$ ⑧
由⑤⑥⑦⑧式得$h_{3}= 2.13m$。

【答案】(1)$3\sqrt{10}m/s\leqslant v_{0}\leqslant 12\sqrt{2}m/s$ (2)$2.13m$
【点拨】本题除了考查平抛运动的规律外,更重要的是对临界条件的理解,第(1)问中击球点确定之后,恰不触网是击球速度的一个临界值,恰不出界则是击球速度的另一个临界值。第(2)问中确定的是临界轨迹,当击球点、网的上边缘和边界点三者位于临界轨迹上时,如果击球速度变小则一定触网,如果速度变大则一定出界。

答案：
(1)刚好不触网时，水平位移$s_1 = 3\,m$，竖直位移$\Delta h = 2.5\,m-2\,m=0.5\,m$。由$\Delta h=\frac{1}{2}gt_1^2$得$t_1=\sqrt{\frac{2\Delta h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.5}{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\,s$，最小速度$v_1=\frac{s_1}{t_1}=3\sqrt{10}\,m/s$。刚好不出界时，水平位移$s_2 = 3\,m+9\,m=12\,m$，竖直位移$h = 2.5\,m$。由$h=\frac{1}{2}gt_2^2$得$t_2=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×2.5}{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\,s$，最大速度$v_2=\frac{s_2}{t_2}=12\sqrt{2}\,m/s$。故$3\sqrt{10}\,m/s\leq v_0\leq12\sqrt{2}\,m/s$。
(2)设临界高度为$h$，此时球恰擦网且恰落对方底线。水平位移分别为$3\,m$和$12\,m$，竖直位移分别为$h - 2\,m$和$h$。由$s=vt$得$t_3=\frac{3}{v}$，$t_4=\frac{12}{v}=4t_3$。竖直方向：$h - 2=\frac{1}{2}gt_3^2$，$h=\frac{1}{2}gt_4^2 = 8gt_3^2$。联立解得$h=\frac{32}{15}\,m\approx2.13\,m$。
(1)$3\sqrt{10}\,m/s\leq v_0\leq12\sqrt{2}\,m/s$
(2)$\frac{32}{15}\,m$（或约$2.13\,m$）

例 130 [江苏宿迁 2024 一模]如图 1 - 5 - 31 所示,网球运动员训练时,在同一高度的前、后两个不同位置,将球斜向上打出,球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点,不计空气阻力,则( )





A.两次击中墙时的速度相等
B.沿轨迹 1 打出的球的初速度大
C.沿轨迹 1 打出的球的速度方向与水平方向的夹角大
D.球从被打出到撞墙,沿轨迹 2 的网球在空中运动的时间长
【解析】球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点,则此时球在竖直方向上的速度分量为 0,则$2gh = v_{y}^{2}$,$h= \dfrac{1}{2}gt^{2}$,$v_{x}= \dfrac{s}{t}$,因为沿轨迹 1 打出的球与沿轨迹 2 打出的球在竖直方向上的位移 h 相等,所以运动时间相等,$v_{y}$也相等。根据$v_{x}= \dfrac{s}{t}$,则$v_{x1}＞v_{x2}$,球两次击中墙时的速度就等于初速度在水平方向上的分量,故球两次击中墙时的速度不相等,A 错误；因为球两次打出时在竖直方向上的速度分量相等,沿轨迹 1 打出的球在水平方向上的速度分量大于沿轨迹 2 打出的球在水平方向上的速度分量,则沿轨迹 1 打出的球的初速度大于沿轨迹 2 打出的球的初速度,B 正确；设球打出时速度方向与水平方向间的夹角为$\theta$,则$\tan\theta=\dfrac{v_{y}}{v_{x}}$,所以$\tan\theta_{1}＜\tan\theta_{2}$,则$\theta_{1}＜\theta_{2}$,C 错误；球从被打出到撞墙,在空中运动时间相等,D 错误。
【答案】B

答案： 【解析】球垂直撞墙时竖直分速度为0，竖直方向做竖直上抛运动，由$v_y^2=2gh$和$t=\frac{v_y}{g}$，因两次撞击同一点，竖直位移$h$相同，故竖直初速度$v_y$及运动时间$t$相等。水平方向做匀速运动，$v_x=\frac{s}{t}$，轨迹1水平位移$s_1＞s_2$，则$v_{x1}＞v_{x2}$。撞击速度等于$v_x$，两次不等，A错；初速度$v_0=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$，$v_{x1}＞v_{x2}$且$v_y$相等，故轨迹1初速度大，B对；$\tan\theta=\frac{v_y}{v_x}$，$v_{x1}＞v_{x2}$则$\theta_1＜\theta_2$，C错；运动时间$t$相等，D错。
【答案】B

例 131 如图 1 - 5 - 32 所示,质量为 m 的飞机以水平初速度$v_{0}$飞离跑道后逐渐上升,若飞机的水平速度$v_{0}$不变,同时受到重力和竖直向上的恒定的升力,令飞机水平方向的位移为 L 时,上升的高度为 h,求：
(1)飞机受到的升力大小；
(2)飞机上升至 h 高度时的速度大小。
【解析】(1)飞机在水平方向做匀速直线运动,故有$L = v_{0}t$,
又因为飞机在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动,
故有$h= \dfrac{1}{2}at^{2}$,
由以上两式得$a= \dfrac{2hv_{0}^{2}}{L^{2}}$。
又根据牛顿第二定律,对飞机有$F - mg = ma$,
所以飞机受到的升力大小为$F = mg+\dfrac{2mhv_{0}^{2}}{L^{2}}$。
(2)设飞机上升高度 h 时竖直速度为$v_{y}$,则有$v_{y}^{2}= 2ah= \dfrac{4h^{2}v_{0}^{2}}{L^{2}}$,
所以$v= \sqrt{v_{0}^{2}+v_{y}^{2}}= \dfrac{v_{0}}{L}\sqrt{L^{2}+4h^{2}}$。
【答案】(1)$mg+\dfrac{2mhv_{0}^{2}}{L^{2}}$ (2)$\dfrac{v_{0}}{L}\sqrt{L^{2}+4h^{2}}$

答案： 答题卡：
(1)
飞机水平方向做匀速直线运动，有：$L = v_{0}t$，
飞机竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，有：$h = \frac{1}{2}at^{2}$，
解得竖直方向的加速度为：$a = \frac{2h{v_{0}}^{2}}{L^{2}}$，
由牛顿第二定律得：$F - mg = ma$，
飞机受到的升力为：$F = mg + ma = mg + \frac{2mh{v_{0}}^{2}}{L^{2}}$。
(2)
飞机上升高度$h$时竖直速度为$v_{y}$，有：${v_{y}}^{2} = 2ah = \frac{4h^{2}{v_{0}}^{2}}{L^{2}}$，
飞机上升至$h$高度时的速度为：$v = \sqrt{{v_{0}}^{2} + {v_{y}}^{2}} = \frac{v_{0}}{L}\sqrt{L^{2} + 4h^{2}}$。