《2025年资源库高中物理人教版》

例 487 [山东新高考]如图 1-19-24 所示,$ xOy $ 平面的第一、三象限内以坐标原点 $ O $ 为圆心、半径为 $ \sqrt{2} L $ 的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场。边长为 $ L $ 的正方形金属框绕其始终在 $ O $ 点的顶点、在 $ xOy $ 平面内以角速度 $ \omega $ 顺时针匀速转动。$ t = 0 $ 时刻,金属框开始进入第一象限。不考虑自感影响,关于金属框中感应电动势 $ E $ 随时间 $ t $ 变化规律的描述正确的是( )



A.在 $ t = 0 $ 到 $ t = \frac{\pi}{2\omega} $ 的过程中,$ E $ 一直增大
B.在 $ t = 0 $ 到 $ t = \frac{\pi}{2\omega} $ 的过程中,$ E $ 先增大后减小
C.在 $ t = 0 $ 到 $ t = \frac{\pi}{4\omega} $ 的过程中,$ E $ 的变化率一直增大
D.在 $ t = 0 $ 到 $ t = \frac{\pi}{4\omega} $ 的过程中,$ E $ 的变化率一直减小
解析 在 $ t = 0 $ 到 $ t = \frac{\pi}{4\omega} $ 的过程中,金属框转过 $ 45^{\circ} $,切割磁感线的有效长度逐渐增大到最大值,在 $ t = \frac{\pi}{4\omega} $ 到 $ t = \frac{\pi}{2\omega} $ 的过程中,金属框再转过 $ 45^{\circ} $,切割磁感线的有效长度从最大值开始逐渐减小,因此在 $ t = 0 $ 到 $ t = \frac{\pi}{2\omega} $ 的过程中,感应电动势 $ E $ 先增大后减小,A 错误,B 正确；在 $ t = 0 $ 到 $ t = \frac{\pi}{4\omega} $ 的过程中,金属框转过 $ 45^{\circ} $,穿过金属框的磁通量 $ \varPhi = BS = B \cdot \frac{L^2}{2} \tan \omega t $,在 $ 0 $ 到 $ 45^{\circ} $ 范围内,$ \tan \omega t $ 与 $ t $ 的关系图像如图 1-19-25 甲所示,感应电动势 $ E = \frac{\Delta \varPhi}{\Delta t} = \frac{BL^2}{2} \cdot \frac{\omega}{\cos^2 \omega t} $,$ E $ 与 $ t $ 的关系图像如图 1-19-25 乙所示,图像切线的斜率表示感应电动势 $ E $ 的变化率,可知在 $ t = 0 $ 到 $ t = \frac{\pi}{4\omega} $ 的过程中,$ E $ 的变化率一直增大,C 正确,D 错误。



答案 BC

答案： BC

例 488 [海南 2023·17]如图 1-19-26 所示,U 形金属杆上边长为 $ L = 15 cm $,质量为 $ m = 1 × 10^{-3} kg $,下端插入导电液体中,导电液体连接电源,金属杆所在空间有垂直纸面向里的大小为 $ B = 8 × 10^{-2} T $ 的匀强磁场(重力加速度 $ g $ 取 $ 10 m/s^2 $)。
(1) 若插入导电液体部分深 $ h = 2.5 cm $,闭合电键,金属杆飞起后,其下端离液面最大高度 $ H = 10 cm $,设离开导电液体前杆中的电流不变,求金属杆离开液面时的速度大小和金属杆中的电流有多大；
(2) 若金属杆下端刚与导电液体接触,改变电动势的大小,通电后金属杆跳起高度 $ H' = 5 cm $,通电时间 $ t' = 0.002 s $,求通过金属杆横截面的电荷量。
(1) 金属杆离开液面时的速度大小为$\sqrt{2} m/s$，金属杆中的电流为$\frac{25}{6} A$；(2) 通过金属杆横截面的电荷量为$0.085 C$。

答案： 答题卡：
(1) 金属杆飞起后做竖直上抛运动，由运动学公式有：$0 - v_0^2 = -2gH$，
解得金属杆离开液面时的速度为：$v_0 = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 × 10 × 0.1} = \sqrt{2} m/s$，
金属杆在液体中上升过程，由动能定理有：$BILh - mgh = \frac{1}{2}mv_0^2 - 0$，
代入数据解得金属杆中的电流为：$I = \frac{m(2gh + v_0^2)}{2BhL} = \frac{1 × 10^{-3} × (2 × 10 × 0.025 + 2)}{2 × 8 × 10^{-2} × 0.025 × 0.15} = \frac{25}{6} A$。
综上所述，金属杆离开液面时的速度为$\sqrt{2} m/s$，金属杆中的电流为$\frac{25}{6} A$。
(2) 金属杆离开液体后跳起过程，由运动学公式有：$0 - v'^2 = -2gH'$，
解得金属杆离开液体时的速度为：$v' = \sqrt{2gH'} = \sqrt{2 × 10 × 0.05} = 1 m/s$，
金属杆在液体中上升过程，以竖直向上为正方向，由动量定理有：$(\overline{B}I L - mg)t' = mv' - 0$，
其中，通过金属杆横截面的电荷量为：$q = \overline{I}t'$，
代入数据解得：$q = \frac{mv' + mgt'}{BL} = \frac{1 × 10^{-3} × 1 + 1 × 10^{-3} × 10 × 0.002}{8 × 10^{-2} × 0.15} = 0.085 C$。
综上所述，通过金属杆横截面的电荷量为$0.085 C$。

例 489 [全国高考]如图 1-19-27 所示,方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨,两相同的光滑导体棒 $ ab $、$ cd $ 静止在导轨上。$ t = 0 $ 时,棒 $ ab $ 以初速度 $ v_0 $ 向右滑动。运动过程中,$ ab $、$ cd $ 始终与导轨垂直并接触良好,两者速度分别用 $ v_1 $、$ v_2 $ 表示,回路中的电流用 $ I $ 表示。下列图像中可能正确的是(AC)
解析 以两导体棒为研究对象,在导体棒运动过程中,两导体棒所受的安培力大小相等、方向相反,且不受其他水平外力作用,在水平方向两导体棒组成的系统动量守恒,对系统有 $ mv_0 = 2mv $,解得两导体棒运动的末速度为 $ v = \frac{1}{2} v_0 $,棒 $ ab $ 做变减速运动,棒 $ cd $ 做变加速运动,稳定时两导体棒的加速度均为零,一起向右做匀速运动,A 正确,B 错误；$ cd $ 棒和 $ ab $ 棒最后做匀速运动,棒与导轨组成的回路磁通量不发生变化,不会产生感应电流,C 正确,D 错误。
答案 AC

答案： AC