《2025年资源库高中物理人教版》

例292 [河北2024·13]如图1-10-55,竖直向上的匀强电场中,用长为L的绝缘细线系住一带电小球,在竖直平面内绕O点做圆周运动. 图中A、B为圆周上的两点,A点为最低点,B点与O点等高. 当小球运动到A点时,细线对小球的拉力恰好为0,已知小球的电荷量为q(q＞0),质量为m,A、B两点间的电势差为U,重力加速度大小为g,求：(1)电场强度E的大小.$\frac{U}{L}$(2)小球在A、B两点的速度大小.$\sqrt{\frac{Uq - mgL}{m}}$$\sqrt{\frac{3(Uq - mgL)}{m}}$

答案： 答题卡：
(1)由$A$、$B$两点间的电势差为$U$，且$A$、$B$两点沿电场线方向的距离为$L$，根据匀强电场的电势差与电场强度的关系$E = \frac{U}{d}$，可得电场强度$E$的大小为：$E = \frac{U}{L}$。
(2)在$A$点，细线对小球的拉力恰好为$0$，小球受到重力$mg$和电场力$qE$，由牛顿第二定律得：$qE - mg = \frac{mv_{A}^{2}}{L}$，
将$E = \frac{U}{L}$代入上式得：$q\cdot\frac{U}{L} - mg = \frac{mv_{A}^{2}}{L}$，
化简可得$v_{A}$的表达式为：$v_{A} = \sqrt{\frac{Uq - mgL}{m}}$。
从$A$点到$B$点，由动能定理得：$Uq - mgL = \frac{1}{2}mv_{B}^{2} - \frac{1}{2}mv_{A}^{2}$，
将$v_{A} = \sqrt{\frac{Uq - mgL}{m}}$代入上式得：$Uq - mgL = \frac{1}{2}mv_{B}^{2} - \frac{1}{2}m\cdot\frac{Uq - mgL}{m}$，
化简可得$v_{B}$的表达式为：$v_{B} = \sqrt{\frac{3(Uq - mgL)}{m}}$。
综上，答案为：
(1)电场强度$E$的大小为$\frac{U}{L}$。
(2)小球在$A$点的速度大小$v_{A} = \sqrt{\frac{Uq - mgL}{m}}$；在$B$点的速度大小$v_{B} = \sqrt{\frac{3(Uq - mgL)}{m}}$。

例293 [全国新课标2023·25]密立根油滴实验的示意图如图1-10-56所示. 两水平金属平板上下放置,间距固定,可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电荷量不同、密度相同的小油滴. 两板间不加电压时,油滴$a$、$b$在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动,速率分别为$v_0$、$\frac{v_0}{4}$；两板间加上电压后(上板为正极),这两个油滴很快达到相同的速率$\frac{v_0}{2}$,均竖直向下匀速运动. 油滴可视为球形,所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比,比例系数视为常数. 不计空气浮力和油滴间的相互作用.

(1)求油滴$a和油滴b$的质量之比；
(2)判断油滴$a和油滴b$所带电荷的正负,并求$a$、$b$所带电荷量的绝对值之比.
【解析】(1)设油滴$a$、$b的质量分别为m_a$、$m_b$,半径分别为$r_a$、$r_b$,空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比,比例系数设为$k$,油滴$a$向下做匀速运动时受力平衡,根据平衡条件有$m_ag = kr_a \cdot v_0$,$m_a = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r_a^3$,油滴$b$向下做匀速运动时受力平衡,根据平衡条件有$m_bg = kr_b \cdot \frac{v_0}{4}$,$m_b = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r_b^3$,解得$r_a : r_b = 2 : 1$,$m_a : m_b = 8 : 1$.

(2)两极板加上电压后,上极板带正电,电场方向竖直向下,油滴$a$的速度变小,则阻力变小,所受电场力方向竖直向上,故油滴$a$带负电,油滴$b$的速度变大,则阻力变大,所受电场力方向竖直向下,故油滴$b$带正电,设油滴$a$、$b所带电荷量的绝对值分别为q_a$、$q_b$,油滴$a$向下做匀速运动时受力平衡,根据平衡条件有$m_ag = kr_a \cdot \frac{v_0}{2} + Eq_a$,油滴$b$向下做匀速运动时受力平衡,根据平衡条件有$m_bg + Eq_b = kr_b \cdot \frac{v_0}{2}$,解得$q_a : q_b = 4 : 1$.
【答案】(1)$8 : 1$(2)油滴$a$带负电 油滴$b$带正电 $4 : 1$

答案：
(1)设油滴$a$、$b$的半径分别为$r_a$、$r_b$，质量分别为$m_a$、$m_b$，空气阻力比例系数为$k$。
由平衡条件：
对油滴$a$：$m_a g = k r_a v_0$，$m_a = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r_a^3$；
对油滴$b$：$m_b g = k r_b \cdot \frac{v_0}{4}$，$m_b = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r_b^3$。
联立解得$r_a:r_b = 2:1$，$m_a:m_b = 8:1$。
(2)油滴$a$带负电，油滴$b$带正电。
设电荷量绝对值分别为$q_a$、$q_b$，电场强度为$E$。
加电压后平衡：
对油滴$a$：$m_a g = k r_a \cdot \frac{v_0}{2} + E q_a$；
对油滴$b$：$m_b g + E q_b = k r_b \cdot \frac{v_0}{2}$。
联立得$q_a:q_b = 4:1$。
答案
(1)$8:1$
(2)油滴$a$带负电，油滴$b$带正电；$4:1$