《2025年资源库高中物理人教版》

例184 [辽宁2023·7]在地球上观察,月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等。如图1-7-36
必修一
必修二
必修三
选择性必修一
选择性必修二
选择性必修三
基础理论与仪器
分组探究实验
课堂演示实验
速度为零时,对$P物体有kx_{0} = m_{1}g_{1}$,对$Q物体有2kx_{0} = m_{2}g_{2}$,则$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{1}{6}$,B错误；将$a - x$图像的纵坐标分别乘两物体的质量,则纵坐标转换为$ma$,即物体受到的合力,图像转换为$F_{合}-x$图像,图像与$x$轴所围面积大小表示合力做的功的大小,由动能定理得$W_{合} = \Delta E_{k}$,当加速度为零时,物体速度最大,动能最大,有$E_{km1} = \frac{1}{2}×3m_{1}a_{0}× x_{0}$,$E_{km2} = \frac{1}{2}× m_{2}a_{0}×2x_{0}$,则$\frac{E_{km1}}{E_{km2}}= \frac{3m_{1}}{2m_{2}} = \frac{1}{4}$,C正确；将两图线继续延伸,当物体速度为零时合力做功为零,即$a - x图像与x$轴所围面积代数和为零,故物体$P下降的最大距离为2x_{0}$,物体$Q下降的最大距离为4x_{0}$,两物体下降的最大距离之比为$1:2$,弹簧的最大压缩量之比为$1:2$,D错误。
【答案】AC
【多解】小球从原长处静止释放到最低点的过程中,小球与弹簧构成的系统机械能守恒,小球减小的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能,设小球下落高度为$x$,由$mgx = \frac{1}{2}kx^{2}$,则$mg = \frac{1}{2}kx$,对应图1-7-35(b)可知,在地球上时$x_{1} = 4A$,在某天体上$x_{2} = 2A$,故$\frac{g_{地}}{g_{天}} = \frac{x_{1}}{x_{2}} = 2$,根据万有引力定律有$\frac{GMm}{R^{2}} = mg$,$M = \frac{4\pi R^{3}}{3}\rho$,地球半径是该天体的$n$倍,联立解得$\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} = \frac{2}{n}$,C正确。
例184 [辽宁2023·7]在地球上观察,月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等。如图1-7-36,则$\frac{g_{地}}{g_{天}} = \frac{\rho_{1}nR}{\rho_{2}R} = \frac{\rho_{1}n}{\rho_{2}} = 2$,可知$\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} = \frac{2}{n}$,C正确。
【答案】C

答案： C

例183
[黑吉辽2024·7]如图1-7-35(a),将一弹簧振子竖直悬挂,以小球的平衡位置为坐标原点$O$,竖直向上为正方向建立$x$轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放,其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图1-7-35(b)所示(不考虑自转影响)。设地球、该天体的平均密度分别为$\rho_1和\rho_2$,地球半径是该天体半径的$n$倍。$\frac{\rho_1}{\rho_2}$的值为(C)
图1-7-35
A. $2n$
B. $\frac{n}{2}$
C. $\frac{2}{n}$
D. $\frac{1}{2n}$
【解析】
小球处于平衡位置时$kx = mg$,其中$k$为弹簧劲度系数,$x$为振幅,结合题图1-7-35(b)可知$g_{地}= 2g_{天}$,设该天体的半径为$R$,则地球的半径为$nR$,又$mg= \frac{GMm}{R^2}$,$M= \rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^3$,可得$g= \frac{4}{3}\pi G\rho R$,角直径(直径对应的张角)近似相等,如图1-7-36所示。若月球绕地球运动的周期为$T_1$,地球绕太阳运动的周期为$T_2$,地球半径是月球半径的$k$倍,则地球与太阳的平均密度之比约为( )

A. $k^3(\frac{T_1}{T_2})^2$
B. $k^3(\frac{T_2}{T_1})^2$
C. $\frac{1}{k^3}(\frac{T_1}{T_2})^2$
D. $\frac{1}{k^3}(\frac{T_2}{T_1})^2$
【解析】
设月球与地球的距离为$r_1$,月球半径为$R_1$,地球与太阳距离为$r_2$,太阳的半径为$R_2$。
等量关系一：月球绕地球运动,有$\frac{GM_{地}M_{月}}{r_1^2}= M_{月}\cdot(\frac{2\pi}{T_1})^2r_1$,地球绕太阳运动,有$\frac{GM_{地}M_{太}}{r_2^2}= M_{地}\cdot(\frac{2\pi}{T_2})^2r_2$,两式联立有$\frac{M_{地}}{M_{太}}= \frac{r_1^3}{r_2^3}\cdot\frac{T_2^2}{T_1^2}$。
等量关系二：星体的质量等于密度与体积的乘积,有$M_{地}= \rho_{地}\cdot\frac{4}{3}\pi(kR_1)^3$、$M_{太}= \rho_{太}\cdot\frac{4}{3}\pi R_2^3$,两式联立有$\frac{M_{地}}{M_{太}}= \frac{\rho_{地}}{\rho_{太}}\cdot k^3\cdot\frac{R_1^3}{R_2^3}$。
等量关系三：由角直径相等,结合相似三角形可得$\frac{R_1}{r_1}= \frac{R_2}{r_2}$。
联立上述等量关系式,解得$\frac{\rho_{地}}{\rho_{太}}= \frac{1}{k^3}(\frac{T_2}{T_1})^2$,D正确。
【答案】
D

答案： C

例185
[重庆2024·7]在万有引力作用下,太空中的三个天体可以做相对位置不变的圆周运动。假设$a$、$b两个天体的质量均为M$,相距为$2r$,其连线的中点为$O$,另一天体$c$(图1-7-37中未画出)质量为$m(m\ll M)$,若$c处于a$、$b$连线的垂直平分线上某特殊位置,$a$、$b$、$c可视为绕O$点做角速度相同的匀速圆周运动,且相对位置不变,忽略其他天体的影响,引力常量为$G$,则( )

A.$c的线速度大小为a的\sqrt{3}$倍
B.$c的向心加速度大小为b$的一半
C.$c在一个周期内的路程为2\pi r$
D.$c的角速度大小为\sqrt{\frac{GM}{8r^3}}$
【解析】
$a$、$b$、$c$三个天体角速度相同,由于$m\ll M$,则对$a天体有\frac{GMM}{(2r)^2}= M\omega^2r$,解得$\omega=\sqrt{\frac{GM}{4r^3}}$,D错误；设$c与a$、$b的连线与a$、$b连线中垂线的夹角为\alpha$,对$c天体有2\frac{GMm}{(\frac{r}{\sin\alpha})^2}\cos\alpha=m\omega^2\frac{r}{\tan\alpha}$,解得$\alpha = 30^{\circ}$,$c的轨道半径为r_c= \frac{r}{\tan30^{\circ}}=\sqrt{3}r$,由$v = \omega r可知c的线速度大小为a的\sqrt{3}$倍,A正确；由$a = \omega^2r可知c的向心加速度大小是b的\sqrt{3}$倍,B错误；$c在一个周期内运动的路程为s = 2\pi r_c = 2\sqrt{3}\pi r$,C错误。
【答案】
A
【易错警示】
题设条件中明确给出$c天体的质量m远小于a$、$b天体的质量M$,言外之意就是对$a$、$b天体的运动分析可以不考虑c天体对a$、$b$天体的万有引力作用,但对$c$天体运动分析时,其向心力来自$a$、$b天体对c$天体的万有引力的合力。

答案： A