《2025年资源库高中物理人教版》

例587 [广东2024·13]差压阀可控制气体进行单向流动,广泛应用于减震系统. 如图1-24-20所示,A、B两个导热良好的汽缸通过差压阀连接,A内轻质活塞的上方与大气连通,B的体积不变,当A内气体压强减去B内气体压强大于$\Delta p$时差压阀打开,A内气体缓慢进入B中;当该差值小于或等于$\Delta p$时差压阀关闭. 当环境温度$T_{1} = 300K$时,A内气体体积$V_{A1} = 4.0×10^{-2}m^{3}$;B内气体压强$p_{B1}等于大气压强p_{0}$. 已知活塞的横截面积$S = 0.10m^{2}$,$\Delta p = 0.11p_{0}$,$p_{0} = 1.0×10^{5}Pa$. 重力加速度大小取$g = 10m/s^{2}$. A、B内的气体可视为理想气体,忽略活塞与汽缸间的摩擦,差压阀与连接管道内的气体体积不计. 当环境温度降低到$T_{2} = 270K$时:
(1)求B内气体压强$p_{B2}$;
(2)求A内气体体积$V_{A2}$;
(3)在活塞上缓慢倒入铁砂,若B内气体压强回到$p_{0}$并保持不变,求已倒入铁砂的质量$m$.
【解析】(1)假设此过程中差压阀关闭,A内气体做等压变化,B内气体做等容变化,对B内气体,由查理定律得$\frac{p_{B1}}{T_{1}} = \frac{p_{B2}}{T_{2}}$,解得$p_{B2} = 0.9p_{0} = 9×10^{4}Pa$,A内气体的压强$p_{A} = p_{0}$,此时A、B内气体的压强差$\Delta p' = p_{A} - p_{B2} = 0.1p_{0} ＜ \Delta p = 0.11p_{0}$,假设成立,差压阀处于关闭状态,此时B内气体压强为$9×10^{4}Pa$.

(2)对A内气体,由盖-吕萨克定律得$\frac{V_{A1}}{T_{1}} = \frac{V_{A2}}{T_{2}}$,解得$V_{A2} = 3.6×10^{-2}m^{3}$.
(3)B中气体压强能够回到$p_{0}$,说明差压阀在该过程中打开,当A、B中压强差为$\Delta p$时,差压阀关闭,可知当B中气体压强回到$p_{0}$时,A中的气体压强为$p_{0} + \Delta p = 1.11p_{0}$,对活塞,有$p_{0}S + mg = 1.11p_{0}S$,解得$m = 110kg$.
【答案】(1)$9×10^{4}Pa$ (2)$3.6×10^{-2}m^{3}$ (3)$110kg$

答案：
(1) $p_{B2} = 9 × 10^4 \, Pa$
(2) $V_{A2} = 3.6 × 10^{-2} \, m^3$
(3) $m = 110 \, kg$

例588 [广西2024·14]如图1-24-21,圆柱形管内封装一定质量的理想气体,水平固定放置,横截面积$S = 500mm^{2}$的活塞与一光滑轻杆相连,活塞与管壁之间无摩擦. 静止时活塞位于圆管的$b$处,此时封闭气体的长度$l_{0} = 200mm$. 推动轻杆先使活塞从$b处缓慢移动到离圆柱形管最右侧距离为5mm的a$处,再使封闭气体缓慢膨胀,直至活塞回到$b$处. 设活塞从$a处向左移动的距离为x$,封闭气体对活塞的压力大小为$F$,膨胀过程$F - \frac{1}{5 + x}$曲线如图1-24-22. 大气压强$p_{0} = 1×10^{5}Pa$.

(1)求活塞位于$b$处时,封闭气体对活塞的压力大小;
(2)推导活塞从$a处到b$处封闭气体经历了等温变化;

(3)在图1-24-23中画出封闭气体等温变化的$p - V$图像,并通过计算标出$a$、$b$处坐标值.
【解析】(1)活塞位于$b$处时,根据平衡条件可知此时气体压强等于大气压强$p_{0}$,此时封闭气体对活塞的压力大小$F = p_{0}S = 1×10^{5}×500×10^{-6}N = 50N$.

(2)由题图可知$F - \frac{1}{5 + x}$图线为一条过原点的直线,设斜率为$k则F = k\cdot\frac{1}{5 + x}$,根据$F = pS可得气体压强为p = \frac{k}{(5 + x)S}(SI)$,故活塞从$a处到b处对封闭气体有pV = \frac{k}{(5 + x)S}\cdot S\cdot(x + 5)×10^{-3}(SI) = k\cdot10^{-3}(SI)$,故活塞从$a处到b处过程中封闭气体的pV$值恒定不变,根据玻意耳定律,活塞从$a处到b$处封闭气体经历了等温变化.
(3)由(2)中分析可知全过程中气体经历了等温变化,根据玻意耳定律得$p_{a}V_{a} = p_{b}V_{b}$,活塞在$b处时气体体积为V_{b} = Sl_{0} = 10×10^{-5}m^{3}$,活塞在$a处时气体体积为V_{a} = Sl_{a} = 0.25×10^{-5}m^{3}$,由(1)分析知$p_{b} = p_{0} = 1×10^{5}Pa解得p_{a} = 40×10^{5}Pa$,故封闭气体等温变化的$p - V$图像如图1-24-24所示.
【答案】(1)$50N$ (2)见解析 (3)见解析图

答案： （1）活塞平衡时气体压强等于大气压，压力$F = p_0S = 1×10^5×500×10^{-6}\ N = 50\ N$。
（2）由图像得$F = k\cdot\frac{1}{5+x}$，结合$F = pS$，则$p = \frac{k}{S(5+x)}$。气体体积$V = S(5+x)×10^{-3}\ m^3$，故$pV = \frac{k}{S(5+x)} \cdot S(5+x)×10^{-3} = k×10^{-3}$（常量），因此为等温变化。
（3）$b$处：$V_b = Sl_0 = 500×10^{-6}×200×10^{-3}\ m^3 = 1×10^{-4}\ m^3$，$p_b = p_0 = 1×10^5\ Pa$；
$a$处：$V_a = S×5×10^{-3} = 500×10^{-6}×5×10^{-3}\ m^3 = 2.5×10^{-6}\ m^3$，由$p_aV_a = p_bV_b$得$p_a = 4×10^6\ Pa$。
图像为双曲线，$a(2.5×10^{-6}\ m^3, 4×10^6\ Pa)$，$b(1×10^{-4}\ m^3, 1×10^5\ Pa)$。
答案
（1）$50\ N$
（2）见解析
（3）图像见解析，$a(2.5×10^{-6}, 4×10^6)$，$b(1×10^{-4}, 1×10^5)$