《2025年资源库高中物理人教版》

例 160 月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的 60 倍,其运行周期约为 27 天. 现应用开普勒行星运动定律计算：在赤道平面内离地面多高时,人造地球卫星可随地球一起转动,就像其停留在天空中不动一样. 若两颗人造卫星绕地球做圆周运动的周期之比为 $1:8$,则它们轨道半径之比是多少？(已知 $R_{地}= 6.4× 10^{3} km$)
【解析】月球和人造地球卫星都在环绕地球运转,根据开普勒第三定律,它们运行轨道的半径的三次方跟圆周运动周期的二次方的比值都是相等的. 设人造地球卫星运动的轨道半径为 $R$,周期为 $T = 1$ 天,根据开普勒第三定律有 $\dfrac{R^{3}}{T^{2}}= k$,同理设月球轨道半径为 $R'$,周期为 $T'$,也有 $\dfrac{R'^{3}}{T'^{2}}= k$,由以上两式可得 $\dfrac{R^{3}}{T^{2}}= \dfrac{R'^{3}}{T'^{2}}$,$R = R'\sqrt[3]{\dfrac{T^{2}}{T'^{2}}}= 60R_{地}\sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{27}\right)^{2}} = 6.67R_{地}$,在赤道平面内离地面高度 $H = R - R_{地}= 6.67R_{地}-R_{地}= 5.67R_{地}= 5.67× 6.4× 10^{3} km= 3.63× 10^{4} km$.由开普勒第三定律 $\dfrac{R_{1}^{3}}{T_{1}^{2}}= \dfrac{R_{2}^{3}}{T_{2}^{2}}$ 可知,当周期之比为 $T_{1}:T_{2}= 1:8$,解得 $R_{1}:R_{2}= 1:4$.
【答案】$3.63× 10^{4} km$ $1:4$
【点拨】开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动,对卫星绕行星运动的情况也成立,开普勒第三定律可理解为：所有绕同一中心天体运动的星体,其椭圆轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等,即 $\dfrac{R^{3}}{T^{2}}= k$,$k$ 值与星体无关,只与中心天体有关.

答案： 1. 设人造地球卫星轨道半径为$R$，周期$T = 1$天，月球轨道半径$R' = 60R_{地}$，周期$T' = 27$天。由开普勒第三定律$\frac{R^{3}}{T^{2}}=\frac{R'^{3}}{T'^{2}}$，得$R = R'\sqrt[3]{\frac{T^{2}}{T'^{2}}}=60R_{地}\sqrt[3]{\left(\frac{1}{27}\right)^{2}}\approx6.67R_{地}$。离地面高度$H=R - R_{地}=5.67R_{地}=5.67×6.4×10^{3}\ km\approx3.63×10^{4}\ km$。
2. 由开普勒第三定律$\frac{R_{1}^{3}}{T_{1}^{2}}=\frac{R_{2}^{3}}{T_{2}^{2}}$，得$\frac{R_{1}}{R_{2}}=\sqrt[3]{\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{2}}=\sqrt[3]{\left(\frac{1}{8}\right)^{2}}=\frac{1}{4}$，故轨道半径之比为$1:4$。
$3.63×10^{4}\ km$；$1:4$

例 161 某物体在地球表面,受到地球的万有引力为 $ F $。若此物体受到的引力减小为 $ \frac{F}{4} $,则其距离地面的高度应为($ R $ 为地球半径)( )

A.$ R $
B.$ 2R $
C.$ 4R $
D.$ 8R $
【解析】根据万有引力定律表达式得 $ F_{引} = \frac{GMm}{r^{2}} $,其中 $ r $ 为物体到地球中心的距离。某物体在地球表面,受到地球的万有引力为 $ F $,此时 $ r = R $,若此物体受到的引力减小为 $ \frac{F}{4} $,根据 $ \frac{F}{4} = \frac{GMm}{r'^{2}} $ 可得此时物体到地球中心的距离 $ r' = 2R $,所以物体距离地面的高度应为 $ R $。故 A 正确。
【答案】A
【点拨】本题需要注意地球对物体的万有引力表达式中的 $ r $ 为物体到地球中心的距离。

答案： A

例 162 如图 1 - 7 - 21 所示,一个质量为 $ M $ 的匀质实心球,半径为 $ R $。如果从球上挖去一个直径为 $ R $ 的球,放在相距为 $ d $ 的地方,引力常量为 $ G $。求下列两种情况下,两球之间的万有引力分别是多大。并指出在什么条件下,两种情况下计算结果相同。

(1) 从球的正中心挖去；
(2) 从与球面相切处挖去。
(1)$\frac{7GM^{2}}{64d^{2}}$
(2)$\frac{GM^{2}}{8d^{2}}-\frac{GM^{2}}{64(d-\frac{R}{2})^{2}}$；当$d\gg R$时结果相同。

答案：
(1)挖去小球质量$m=\frac{M}{8}$，剩余部分质量$M'=\frac{7M}{8}$。两球心间距为$d$，由万有引力定律得：
$F_{1}=G\frac{M'm}{d^{2}}=G\frac{(\frac{7M}{8})(\frac{M}{8})}{d^{2}}=\frac{7GM^{2}}{64d^{2}}$
(2)割补法：完整球对$m$的引力$F=G\frac{Mm}{d^{2}}=\frac{GM^{2}}{8d^{2}}$，填补小球对$m$的引力$\Delta F=G\frac{m^{2}}{(d-\frac{R}{2})^{2}}=\frac{GM^{2}}{64(d-\frac{R}{2})^{2}}$，则剩余部分对$m$的引力：
$F_{2}=F-\Delta F=\frac{GM^{2}}{8d^{2}}-\frac{GM^{2}}{64(d-\frac{R}{2})^{2}}$
当$d\gg R$时，$F_{2}=\frac{7GM^{2}}{64d^{2}}=F_{1}$，两种情况结果相同。
答案
(1)$\frac{7GM^{2}}{64d^{2}}$
(2)$\frac{GM^{2}}{8d^{2}}-\frac{GM^{2}}{64(d-\frac{R}{2})^{2}}$；当$d\gg R$时结果相同。

例 163 为了探测某星球,某航天员乘探测飞船先绕该星球表面附近做匀速圆周运动,测得运行周期为 $ T $,然后登陆该星球,测得一物体在此星球表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动时间的一半,已知地球表面的重力加速度为 $ g $,引力常量为 $ G $,则由此可得该星球的质量为( )

A.$ \frac{4g^{3}T^{4}}{G\pi^{4}} $
B.$ \frac{g^{2}T^{3}}{G\pi^{3}} $
C.$ \frac{gT^{2}}{G\pi^{2}} $
D.$ \frac{g^{3}}{GT^{2}} $
【解析】物体在地球上做自由落体运动,有 $ h = \frac{1}{2}gt^{2} $,物体在该星球上做自由落体运动,有 $ h = \frac{1}{2}g't'^{2} $,而 $ t' = \frac{t}{2} $,解得 $ g' = 4g $；在星球表面,忽略星球自转,根据万有引力提供向心力得 $ G\frac{Mm}{R^{2}} = mg' = m\frac{4\pi^{2}R}{T^{2}} $,解得 $ M = \frac{4g^{3}T^{4}}{G\pi^{4}} $,故 A 正确。
【答案】A
【点拨】重力加速度 $ g $ 是联系天体运动和天体表面宏观物体运动的物理量。本题要求学生掌握两个等量关系：一是在忽略星球自转的情况下,星球表面的物体所受的重力等于其所受的万有引力；二是物体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。

答案： A