《2025年资源库高中物理人教版》

例 96 如图 1 - 4 - 21 所示,把质量为 $ M $ 的物体放在光滑的水平高台上,用一条可以忽略质量而且不变形的细绳绕过定滑轮把它与质量为 $ m $ 的物体连接起来,重力加速度为 $ g $,则细绳的作用力大小 $ T $ 和两物体运动的加速度大小 $ a $ 各是( )


A.$ T = mg $
B.$ a = \frac{m}{M}g $
C.$ T = \frac{Mm}{M + m}g $
D.$ a = \frac{m}{M + m}g $
【解析】对质量为 $ M $ 和 $ m $ 的两个物体隔离分开分别进行受力分析,设细绳的作用力大小为 $ T $,根据牛顿第二定律,对质量为 $ M $ 的物体有 $ T = Ma $,根据牛顿第二定律,对质量为 $ m $ 的物体有 $ mg - T = ma $,联立解得 $ T = \frac{Mm}{M + m}g $,$ a = \frac{m}{M + m}g $。
【答案】CD

答案： CD

例 97 如图 1 - 4 - 22 所示,物块 $ P $、$ Q $ 的质量分别为 $ m $ 和 $ 2m $,用轻弹簧连接后放在光滑的水平面上,对 $ Q $ 施加水平向右的拉力 $ F $,稳定后,$ P $、$ Q $ 以相同的加速度在水平面上运动,此时弹簧的形变量为 $ x_1 $；若撤去拉力 $ F $,换成大小为 $ 2F $ 的水平向右的推力作用在 $ P $ 上,稳定后,$ P $、$ Q $ 也以相同的加速度在水平面上运动,此时弹簧的形变量为 $ x_2 $,则 $ \frac{x_1}{x_2} $ 的值为(A)

A.$ \frac{1}{4} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{3}{4} $
D.$ \frac{3}{2} $
【解析】以大小为 $ F $ 的力水平向右拉物块 $ Q $ 时,物块 $ P $、$ Q $ 为整体,根据牛顿第二定律得知,物块 $ P $、$ Q $ 的加速度大小 $ a_1 = \frac{F}{3m} $,对物块 $ P $,有 $ kx_1 = ma_1 $；同理,以大小为 $ 2F $ 的力水平向右推物块 $ P $ 时,整体的加速度有 $ a_2 = \frac{2F}{3m} $,对物块 $ Q $,有 $ kx_2 = 2ma_2 $,联立解得 $ \frac{x_1}{x_2} = \frac{1}{4} $,A 正确。



【答案】A

答案： A

例 98 如图 1 - 4 - 23 所示,光滑斜面倾角为 $ \theta $,在水平地面上加速运动。斜面上用一条与斜面平行的细绳系一质量为 $ m $ 的小球,当斜面加速度为 $ a $ 时,小球能够保持相对斜面静止,重力加速度为 $ g $。试求此时绳子的张力 $ F_T $。


【解析】当加速度 $ a $ 较小时,小球和斜面之间有弹力作用；当加速度 $ a $ 较大时,小球会飞起来,小球与斜面之间没有弹力作用,系小球的细绳与斜面不再平行,故小球与斜面有无弹力作用,是一个临界点。假设当加速度为 $ a_0 $ 时,斜面对小球刚好没有弹力,此时细绳仍与斜面平行,小球受力如图 1 - 4 - 24 所示,由边角关系可得 $ \tan \theta = \frac{mg}{ma_0} $,得 $ a_0 = g \frac{1}{\tan \theta} $。可见,当 $ a ＜ g \frac{1}{\tan \theta} $ 时,小球并没有离开斜面,即 $ F_N \neq 0 $,此时细绳仍与斜面平行；当 $ a ＞ g \frac{1}{\tan \theta} $ 时,小球离开斜面。






① 当 $ a \leq g \frac{1}{\tan \theta} $ 时,沿加速度 $ a $ 方向建立 $ x $ 轴,与加速度 $ a $ 垂直的方向建立 $ y $ 轴,如图 1 - 4 - 25 甲所示。根据牛顿第二定律可得 $ F_T \cos \theta - F_N \sin \theta = ma $,$ F_T \sin \theta + F_N \cos \theta = mg $,解得 $ F_T = mg \sin \theta + ma \cos \theta $。
② 当 $ a ＞ g \frac{1}{\tan \theta} $ 时,对小球进行受力分析,如图 1 - 4 - 25 乙所示,则 $ F_T = m \sqrt{g^2 + a^2} $。
【答案】$ a \leq g \frac{1}{\tan \theta} $ 时,$ F_T = mg \sin \theta + ma \cos \theta $；$ a ＞ g \frac{1}{\tan \theta} $ 时,$ F_T = m \sqrt{g^2 + a^2} $
【点拨】解决临界与极值问题的关键是对临界条件的分析,如相互挤压的物体要分离,其临界条件一定是相互作用的弹力为零。另外,有关最大静摩擦力问题、绳子的张力问题,都经常和临界与极值问题联系。

答案： 临界加速度分析
当斜面对小球支持力 $ F_N = 0 $ 时，小球仅受重力 $ mg $ 和绳拉力 $ F_T $，合力提供水平加速度 $ a_0 $。由力的合成有：
$ \tan\theta = \frac{mg}{ma_0} \implies a_0 = \frac{g}{\tan\theta} = g\cot\theta $
情况1：$ a \leq g\cot\theta $（小球未离开斜面）
受力分析：重力 $ mg $、绳拉力 $ F_T $（平行斜面）、支持力 $ F_N $（垂直斜面）。
建立水平 $ x $-轴（加速度方向）和竖直 $ y $-轴，由牛顿第二定律：
$ x $-方向：$ F_T\cos\theta - F_N\sin\theta = ma $
$ y $-方向：$ F_T\sin\theta + F_N\cos\theta = mg $
联立解得：
$ F_T = mg\sin\theta + ma\cos\theta $
情况2：$ a ＞ g\cot\theta $（小球离开斜面，$ F_N = 0 $）
小球仅受重力 $ mg $ 和绳拉力 $ F_T $，合力提供水平加速度 $ a $。由勾股定理：
$ F_T = m\sqrt{g^2 + a^2} $
结论
当 $ a \leq g\cot\theta $ 时，$ F_T = mg\sin\theta + ma\cos\theta $
当 $ a ＞ g\cot\theta $ 时，$ F_T = m\sqrt{g^2 + a^2} $

例 99 在光滑水平地面上放置一足够长的质量为 $ M $ 的木板 $ B $,如图 1 - 4 - 26 甲所示,其上表面粗糙,在木板 $ B $ 上面放置一个质量为 $ m $、可视为质点的物块 $ A $,现在给 $ A $ 一个水平向左的拉力 $ F $,用传感器得到 $ A $ 的加速度随外力 $ F $ 的变化关系如图 1 - 4 - 26 乙所示,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,$ g = 10\ m/s^2 $,则(AD)
A.物块 $ A $ 的质量为 $ m = 1\ kg $
B.木板 $ B $ 的质量为 $ M = 3\ kg $
C.$ A $ 与 $ B $ 之间的最大静摩擦力为 $ f_{max} = 3\ N $
D.当 $ A $ 的加速度为 $ a = 2\ m/s^2 $ 时,外力 $ F = 4\ N $
【解析】当拉力小于 $ 3\ N $ 时,$ A $、$ B $ 一起做加速运动,有 $ a_1 = \frac{1}{M + m}F $,由图像可得 $ \frac{1}{M + m} = \frac{1}{3}\ kg^{-1} $,当拉力大于 $ 3\ N $ 时,$ A $、$ B $ 相对滑动,有 $ F - \mu mg = ma_2 $,整理得 $ a_2 = \frac{1}{m}F - \mu g $,由图像可得 $ \frac{1}{m} = 1\ kg^{-1} $,$ -\mu g = - 2\ m \cdot s^{-2} $,联立解得 $ m = 1\ kg $,$ M = 2\ kg $,$ \mu = 0.2 $,A 正确,B 错误；$ A $ 与 $ B $ 之间的最大静摩擦力为 $ f_{m} = \mu mg = 2\ N $,C 错误；当 $ A $ 的加速度为 $ a = 2\ m/s^2 $ 时,外力为 $ F = \mu mg + ma = 4\ N $,D 正确。
【答案】AD
【点拨】叠加体系统临界问题的求解思路

答案： AD