《2025年资源库高中物理人教版》

例 454 如图 1 - 18 - 37 所示,一足够长的矩形区域 $ abcd $ 内充满磁感应强度为 $ B $,方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从矩形区域 $ ad $ 边的中点 $ O $ 处,垂直磁场射入一速度方向与 $ ad $ 边夹角为 $ 30^{\circ} $,大小为 $ v_0 $ 的带电粒子。已知粒子的质量为 $ m $、带电荷量为 $ q $,$ ad $ 边长为 $ l $,重力影响不计。
(1)试求粒子能从 $ ab $ 边射出磁场时 $ v_0 $ 的范围；

(2)在满足粒子从 $ ab $ 边射出磁场的条件下,粒子在磁场中运动的最长时间是多少？
(1)$\frac{qBl}{3m}＜v_0\leq\frac{qBl}{m}$；(2)$\frac{4\pi m}{3qB}$

答案：
(1)当轨迹与ab边相切时，$R_1(1+\sin30°)=\frac{l}{2}$，解得$R_1=\frac{l}{3}$，由$R=\frac{mv}{qB}$得$v_1=\frac{qBl}{3m}$；当轨迹与cd边相切时，$R_2=l$，$v_2=\frac{qBl}{m}$。故速度范围：$\frac{qBl}{3m}＜v_0\leq\frac{qBl}{m}$。
(2)最长时间对应圆心角$\theta=\frac{4\pi}{3}$，$T=\frac{2\pi m}{qB}$，$t_{max}=\frac{\theta}{2\pi}T=\frac{4\pi m}{3qB}$。
(1)$\frac{qBl}{3m}＜v_0\leq\frac{qBl}{m}$；
(2)$\frac{4\pi m}{3qB}$