《2025年资源库高中物理人教版》

例210 如图1-8-29所示,位于竖直平面内的光滑轨道,由一段倾斜的直轨道和与之相切的圆弧轨道连接而成,圆弧轨道的半径为$R$.一质量为$m$的物块从倾斜轨道上某处由静止开始下滑,然后沿圆弧轨道运动,要求物块能通过圆弧轨道的最高点,且在该最高点对轨道的压力大小不能超过$5mg$($g$为重力加速度),物块可视为质点.求物块初始位置相对于圆弧轨道底部的高度$h$的取值范围.
【解析】以圆弧轨道最低点所在平面为参考平面,设物块在圆弧轨道最高点的速度大小为$v$,由机械能守恒定律得$mgh = 2mgR+\frac{1}{2}mv^{2}$ ①,物块在圆弧轨道最高点受到重力$mg和轨道的支持力N$,重力与支持力的合力提供向心力,有$mg + N = m\frac{v^{2}}{R}$ ②,物块能通过最高点的条件是$N\geq0$ ③,由②③式得$v\geq\sqrt{gR}$ ④,由①④式得$h\geq\frac{5}{2}R$ ⑤,由题目和牛顿第三定律,$N\leq5mg$,由②式得$v\leq\sqrt{6gR}$ ⑥,由①⑥式得$h\leq5R$ ⑦,所以$h的取值范围是\frac{5}{2}R\leq h\leq5R$。
【答案】$\frac{5R}{2}\leq h\leq5R$
【点拨】物块在整个运动过程中只有重力做功,故机械能守恒.应结合竖直平面内圆周运动通过最高点的临界条件分析,综合性较强.

答案： 答题卡作答：
设物块在圆弧轨道最高点的速度为$v$，
由机械能守恒定律：$mgh = 2mgR + \frac{1}{2}mv^{2} \quad ①$，
在最高点，由向心力公式：$mg + N = m\frac{v^{2}}{R} \quad ②$，
物块能通过最高点的条件：$N \geq 0 \quad ③$，
由②③得：$v \geq \sqrt{gR} \quad ④$，
由①④得：$h \geq \frac{5}{2}R \quad ⑤$，
题目要求$N \leq 5mg$，由②得：$v \leq \sqrt{6gR} \quad ⑥$，
由①⑥得：$h \leq 5R \quad ⑦$，
综上，$h$的取值范围为：$\frac{5}{2}R \leq h \leq 5R$。

例211 如图1-8-30所示,一固定于水平地面的楔形木块,其斜面的倾角$\theta = 30^{\circ}$,另一边与水平面垂直,顶端有一个定滑轮,跨过定滑轮的细线两端分别与物块$A和B$连接,$A的质量为4m$,$B的质量为m$.开始时,将$B$按在地面上不动,然后放开手,让$A沿斜面下滑而B$上升,所有摩擦均忽略不计.当$A沿斜面下滑距离为L$后,细线突然断了,设$B$不会与定滑轮相碰,求物块$B上升的最大高度H$.

【解析】设细线断开前瞬间$A和B速度的大小为v$,$A沿斜面下滑距离为L$的过程中,$A的高度降低了L\sin\theta$,$B的高度升高了L$.$A和B$组成的系统机械能守恒,$A机械能的减少量等于B$机械能的增加量,即$4mgL\sin\theta-\frac{1}{2}\cdot4mv^{2}= mgL+\frac{1}{2}mv^{2}$ ①,细线断裂后,物块$B$做竖直上抛运动,设$B继续上升的高度为h$,这一过程$B$与地球组成的系统机械能守恒,有$mgh= \frac{1}{2}mv^{2}$ ②,①②两式联立解得$h= \frac{L}{5}$,故物块$B上升的最大高度为H = L + h = L+\frac{L}{5}= \frac{6}{5}L$。

【答案】$\frac{6}{5}L$
【点拨】在细线断开之前,$A和B$组成的系统机械能守恒.两个物块用同一根细线跨过定滑轮相连,由于细线不可伸长,两个物块速度的大小总是相等的.细线断开后,$B$做竖直上抛运动,由于只有重力做功,$B$的机械能守恒.在处理实际问题时,要根据问题的特点和求解的需要,选取不同的研究对象和运动过程进行分析.

答案：
$\frac{6}{5}L$