《2025年资源库高中物理人教版》

例119 [湖南2023·10]如图1-4-47,光滑水平地面上有一质量为 $ 2m $ 的小车在水平推力 $ F $ 的作用下加速运动。车厢内有质量均为 $ m $ 的 $ A $、$ B $ 两小球,两球用轻杆相连,$ A $ 球靠在光滑左壁上,$ B $ 球处在车厢水平底面,且与底面的动摩擦因数为 $ \mu $,杆与竖直方向的夹角为 $ \theta $,杆与车厢始终保持相对静止。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为 $ g $。下列说法正确的是(CD)

A.若 $ B $ 球受到的摩擦力为零,则 $ F= 2mgtan\theta $
B.若推力 $ F $ 向左,且 $ tan\theta \leqslant \mu $,则 $ F $ 的最大值为 $ 2mgtan\theta $
C.若推力 $ F $ 向左,且 $ \mu \lt tan\theta \leqslant 2\mu $,则 $ F $ 的最大值为 $ 4mg(2\mu -tan\theta ) $
D.若推力 $ F $ 向右,且 $ tan\theta ＞2\mu $,则 $ F $ 的范围为 $ 4mg(tan\theta -2\mu )\leqslant F\leqslant 4mg(tan\theta +2\mu ) $
【解析】对 $ A $、$ B $ 两球分别进行受力分析如图1-4-48甲所示,$ A $ 球在竖直方向受力平衡,有 $ F_{杆}\cos\theta =mg $,解得 $ F_{杆}= \frac{mg}{\cos\theta } $,则杆对 $ B $ 球的力 $ F_{杆}'= F_{杆} $；$ B $ 球在竖直方向受力平衡,有 $ F_{N}= mg+F_{杆}'\cdot \cos\theta =2mg $,若 $ B $ 球受到的摩擦力为零,对 $ B $ 球,由牛顿第二定律有 $ F_{杆}'\sin\theta =ma $,解得 $ a= g\tan\theta $；对小车和 $ A $、$ B $ 两球整体,由牛顿第二定律有 $ F= 4ma= 4mgtan\theta $,A错误。若推力 $ F $ 向左,对于 $ A $、$ B $ 两球有两种临界状态,第1种为 $ A $ 球恰不转动,临界条件为车厢对 $ A $ 球的支持力 $ F_{N1}= 0 $,对 $ A $ 球,由牛顿第二定律得 $ F_{杆}\sin\theta =ma_{n1} $,又 $ F_{杆}\cos\theta =mg $,解得 $ a_{n1}= g\tan\theta $；第2种为 $ B $ 球恰不滑动,临界条件为向左的摩擦力达到最大静摩擦力,受力分析如图1-4-48乙所示,对 $ B $ 球,由牛顿第二定律得 $ \mu F_{N}-F_{杆}'\sin\theta =ma_{n2} $,又 $ F_{N}= mg+F_{杆}'\cos\theta $,解得 $ a_{n2}= 2\mu g-g\tan\theta $,当 $ \tan\theta \leqslant \mu $ 时,$ a_{n1}\leqslant a_{n2} $,加速度最大可取 $ a_{n1}= g\tan\theta $,对小车和 $ A $、$ B $ 两球整体,由牛顿第二定律有 $ F= 4ma_{n1}= 4mgtan\theta $,B错误。当 $ \mu \lt tan\theta \leqslant 2\mu $ 时,$ a_{n1}＞a_{n2} $,加速度最大可取 $ a_{n2}= 2\mu g-g\tan\theta $,对小车和 $ A $、$ B $ 两球整体,由牛顿第二定律有 $ F= 4ma_{n2}= 4mg(2\mu -tan\theta ) $,C正确。若推力 $ F $ 向右,且 $ tan\theta ＞2\mu $,对 $ A $、$ B $ 两球受力分析如图1-4-48丙所示,在竖直方向上有 $ F_{杆}\cos\theta =mg $,若 $ B $ 球所受摩擦力水平向左且达到最大静摩擦力,有 $ F_{杆}'\sin\theta -\mu F_{N}= ma_{1}' $,得 $ a_{1}'= g(tan\theta -2\mu ) $,若 $ B $ 球所受摩擦力水平向右且达到最大静摩擦力,有 $ F_{杆}'\sin\theta +\mu F_{N}= ma_{2}' $,得 $ a_{2}'= g(tan\theta +2\mu ) $,即 $ g(tan\theta -2\mu )\leqslant a'\leqslant g(2\mu +tan\theta ) $,对小车和 $ A $、$ B $ 两球整体由牛顿第二定律有 $ F= 4ma' $,则 $ 4mg(tan\theta -2\mu )\leqslant F\leqslant 4mg(2\mu +tan\theta ) $,D正确。



【答案】CD

答案： CD