《2025年资源库高中物理人教版》

例 167 太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种如图 1 - 7 - 24(a) 所示,三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为 $ R $ 的圆轨道上运行；另一种形式如图 1 - 7 - 24(b) 所示,三颗星位于边长为 $ L $ 的等边三角形的三个顶点上,并沿等边三角形的外接圆轨道运行。设这三个星体的质量均为 $ M $,且两种系统的运动周期相同,引力常量为 $ G $,则(B)

A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同


B.直线三星系统中甲星和丙星的运动周期为 $ T = 4\pi R\sqrt{\frac{R}{5GM}} $
C.三角形三星系统中星体间的距离为 $ L = \sqrt{3}R $
D.三角形三星系统中星体的线速度大小为 $ v = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{5GM}{R}} $
【解析】直线三星系统中甲星和丙星角速度相同,运动半径相同,由 $ v = \omega R $ 可知,甲星和丙星的线速度大小相等,方向不同,故 A 错误；万有引力提供向心力 $ G\frac{M^{2}}{R^{2}} + G\frac{M^{2}}{(2R)^{2}} = M\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}R $,得甲星和丙星的周期 $ T = 4\pi R\sqrt{\frac{R}{5GM}} $,故 B 正确；两种系统的运动周期相同,根据题意可得,三星系统中任意星体所受合力为 $ F = 2\cos 30^{\circ}G\frac{M^{2}}{L^{2}} = \sqrt{3}G\frac{M^{2}}{L^{2}} $,又 $ F = M\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r $,轨道半径 $ r $ 与边长 $ L $ 的关系为 $ L = \sqrt{3}r $,解得 $ L = \sqrt[3]{\frac{12}{5}}R $,故 C 错误；三角形三星系统中星体的线速度大小为 $ v = \frac{2\pi r}{T} $,得 $ v = \sqrt[3]{\frac{12}{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}\sqrt{\frac{5GM}{R}} $,故 D 错误。
【答案】B

答案： B