《2025年资源库高中物理人教版》

例 462 [山东新高考]某型号质谱仪的工作原理如图 1 - 18 - 47 甲所示。$ M $、$ N $ 为竖直放置的两金属板,两板间电压为 $ U $,$ Q $ 板为记录板,分界面 $ P $ 将 $ N $、$ Q $ 间区域分为宽度均为 $ d $ 的Ⅰ、Ⅱ两部分,$ M $、$ N $、$ P $、$ Q $ 所在平面相互平行,$ a $、$ b $ 为 $ M $、$ N $ 上两正对的小孔。以 $ a $、$ b $ 所在直线为 $ z $ 轴,向右为正方向,取 $ z $ 轴与 $ Q $ 板的交点 $ O $ 为坐标原点,以平行于 $ Q $ 板水平向里为 $ x $ 轴正方向,竖直向上为 $ y $ 轴正方向,建立空间直角坐标系 $ Oxyz $。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿 $ x $ 轴正方向的匀强磁场和匀强电场,磁感应强度大小、电场强度大小分别为 $ B $ 和 $ E $。一质量为 $ m $,电荷量为 $ +q $ 的粒子,从 $ a $ 孔飘入电场(初速度视为零),经 $ b $ 孔进入磁场,过 $ P $ 面上的 $ c $ 点(图中未画出)进入电场,最终打到记录板 $ Q $ 上。不计粒子重力。
(1)求粒子在磁场中做圆周运动的半径 $ R $ 以及 $ c $ 点到 $ z $ 轴的距离 $ L $；
(2)求粒子打到记录板上位置的 $ x $ 坐标；
(3)求粒子打到记录板上位置的 $ y $ 坐标(用 $ R $、$ d $ 表示)；
(4)如图 1 - 18 - 47 乙所示,在记录板上得到三个点 $ s_1 $、$ s_2 $、$ s_3 $,若这三个点是质子 $ {^1_1H} $、氚核 $ {^3_1H} $、氦核 $ {^4_2He} $ 的位置,请写出这三个点分别对应哪个粒子(不考虑粒子间的相互作用,不要求写出推导过程)。
【解析】(1)设粒子经加速电场到 $ b $ 孔的速度大小为 $ v $,粒子在区域Ⅰ中,做匀速圆周运动对应圆心角为 $ \alpha $,在 $ M $、$ N $ 两金属板间,由动能定理得 $ qU = \frac{1}{2}mv^2 $ ①,在区域Ⅰ中,粒子做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得 $ qvB = m\frac{v^2}{R} $ ②,联立①②式得 $ R = \frac{\sqrt{2mqU}}{qB} $ ③,由几何关系得 $ d^2 + (R - L)^2 = R^2 $ ④,$ \cos \alpha = \frac{\sqrt{R^2 - d^2}}{R} $ ⑤,$ \sin \alpha = \frac{d}{R} $ ⑥,联立①②④式得 $ L = \frac{\sqrt{2mqU}}{qB} - \sqrt{\frac{2mU}{qB^2} - d^2} $ ⑦。
(2)设区域Ⅱ中粒子沿 $ z $ 轴方向的分速度为 $ v_z $,沿 $ x $ 轴正方向加速度大小为 $ a $,位移大小为 $ x $,运动时间为 $ t $,由牛顿第二定律得 $ qE = ma $ ⑧,粒子在 $ z $ 轴方向做匀速直线运动,由运动合成与分解的规律得 $ v_z = v\cos \alpha $ ⑨,$ d = v_z t $ ⑩,粒子在 $ x $ 轴方向做初速度为零的匀加速直线运动,由运动学公式得 $ x = \frac{1}{2}at^2 $ ⑪,联立①②⑤⑧⑨⑩⑪式得 $ x = \frac{md^2E}{4mU - 2qd^2B^2} $ ⑫。

(3)设粒子沿 $ y $ 方向偏离 $ z $ 轴的距离为 $ y $,其中在区域Ⅱ中沿 $ y $ 方向偏离的距离为 $ y' $,由运动学公式得 $ y' = vt\sin \alpha $ ⑬,由题意得 $ y = L + y' $ ⑭,联立①④⑥⑨⑩⑬⑭式得 $ y = R - \sqrt{R^2 - d^2} + \frac{d^2}{\sqrt{R^2 - d^2}} $ ⑮。
(4)根据(2)中结果 $ x = \frac{md^2E}{4mU - 2qd^2B^2} = \frac{d^2E}{4U - 2d^2B^2 \cdot \frac{q}{m}} $,可知 $ \frac{q}{m} $ 越大,粒子打在记录板上的位置的 $ x $ 坐标值越大,可得 $ s_1 $、$ s_2 $、$ s_3 $ 分别对应氚核 $ {^3_1H} $、氦核 $ {^4_2He} $、质子 $ {^1_1H} $ 的位置。
【答案】(1)$ \frac{\sqrt{2mqU}}{qB} $ $ \frac{\sqrt{2mqU}}{qB} - \sqrt{\frac{2mU}{qB^2} - d^2} $ (2)$ \frac{md^2E}{4mU - 2qd^2B^2} $ (3)$ R - \sqrt{R^2 - d^2} + \frac{d^2}{\sqrt{R^2 - d^2}} $ (4)$ s_1 $、$ s_2 $、$ s_3 $ 分别对应氚核 $ {^3_1H} $、氦核 $ {^4_2He} $、质子 $ {^1_1H} $ 的位置

答案：
(1)粒子在金属板$M$、$N$间，由动能定理得：$qU = \frac{1}{2}mv^{2}$，
在区域Ⅰ中，由洛伦兹力提供向心力得：$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$，
联立解得：$R = \frac{\sqrt{2mqU}}{qB}$，
由几何关系得：$d^{2} + (R - L)^{2} = R^{2}$，
解得：$L = R - \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \frac{\sqrt{2mqU}}{qB} - \sqrt{\frac{2mU}{qB^{2}} - d^{2}}$。
(2)粒子在区域Ⅱ中，沿$z$轴方向：$d = v\cos\alpha \cdot t$，
沿$x$轴方向：$x = \frac{1}{2}at^{2}$，$qE = ma$，
联立解得：$x = \frac{md^{2}E}{4mU - 2qd^{2}B^{2}}$。
(3)粒子在区域Ⅱ中，沿$y$方向：$y' = vt\sin\alpha$，
$y = L + y'$，
联立解得：$y = R - \sqrt{R^{2} - d^{2}} + \frac{d^{2}}{\sqrt{R^{2} - d^{2}}}$。
(4)$s_1$、$s_2$、$s_3$分别对应氚核$ {^3_1H} $、氦核$ {^4_2He} $、质子$ {^1_1H} $的位置。