《2025年资源库高中物理人教版》

例 16 可视为质点的物体以一定的速度冲上固定的光滑斜面 $ AC $,到达斜面的最高点时速度恰好为零,如图 1 - 2 - 15 所示,已知物体运动到斜面长度 $ \frac{3}{4} $ 处的 $ B $ 点时,所用的时间为 $ t $,则物体从 $ B $ 点运动到 $ C $ 点所用的时间为 ______$t$.
【解析】解法一：基本公式法
因为物体沿斜面向上做匀减速运动,设物体从 $ B $ 点运动到 $ C $ 点所用的时间为 $ t_{BC} $,物体的初速度为 $ v_{0} $,加速度大小为 $ a $,由匀变速直线运动的规律可得 $ 0 - v_{0}^{2} = -2ax_{AC} $,$ v_{B}^{2} - v_{0}^{2} = -2ax_{AB} $,$ x_{AB} = \frac{3}{4}x_{AC} $,又 $ v_{B} = v_{0} - at $,$ v_{B} = at_{BC} $.
联立解得 $ t_{BC} = t $.
解法二：逆向思维法
物体匀减速冲上斜面,相当于匀加速滑下斜面,故 $ x_{BC} = \frac{at_{BC}^{2}}{2} $,$ x_{AC} = \frac{a(t + t_{BC})^{2}}{2} $,又 $ x_{BC} = \frac{x_{AC}}{4} $,由以上三式解得 $ t_{BC} = t $.
解法三：位移比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动,在连续相等的时间内通过的位移之比为 $ x_{1} : x_{2} : x_{3} : … : x_{n} = 1 : 3 : 5 : … : (2n - 1) $.
因为 $ x_{CB} : x_{BA} = \left( \frac{x_{AC}}{4} \right) : \left( \frac{3x_{AC}}{4} \right) = 1 : 3 $,而通过 $ x_{BA} $ 的时间为 $ t $,所以通过 $ x_{CB} $ 的时间 $ t_{BC} = t $.
解法四：中间时刻速度法
利用推论：匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度. 由题知 $ \overline{v}_{AC} = \frac{v_{0} + 0}{2} = \frac{v_{0}}{2} $,又 $ v_{0}^{2} = 2ax_{AC} $,$ v_{B}^{2} = 2ax_{BC} $,$ x_{BC} = \frac{x_{AC}}{4} $,联立解得 $ v_{B} = \frac{v_{0}}{2} $. 可以看出 $ v_{B} $ 正好等于 $ AC $ 段的平均速度,满足推论,因此有 $ t_{BC} = t $.
解法五：图像法
根据匀变速直线运动的规律,作出 $ v - t $ 图像,如图 1 - 2 - 16 所示. 利用相似三角形的规律,面积之比等于对应边平方比,得 $ \frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle BDC}} = \frac{CO^{2}}{CD^{2}} $,且 $ \frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle BDC}} = \frac{4}{1} $,$ OD = t $,$ OC = t + t_{BC} $,所以 $ \frac{4}{1} = \frac{(t + t_{BC})^{2}}{t^{2}} $,解得 $ t_{BC} = t $.

解法六：时间比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动,通过连续相等的各段位移所用的时间之比为 $ t_{1} : t_{2} : t_{3} : … : t_{n} = 1 : (\sqrt{2} - 1) : (\sqrt{3} - \sqrt{2}) : … : (\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}) $,如图 1 - 2 - 17 所示,将 $ AC $ 四等分,设 $ t_{CB} = t_{s} $,则 $ t_{BD} = (\sqrt{2} - 1)t_{s} $,$ t_{DE} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})t_{s} $,$ t_{EA} = (2 - \sqrt{3})t_{s} $,$ t_{BD} + t_{DE} + t_{EA} = t $,解得 $ t_{s} = t $.


【答案】$ t $

答案： $t$

例 17 如图 1 - 2 - 18 所示,物体自 $ O $ 点由静止开始做匀加速直线运动,$ A $、$ B $、$ C $、$ D $ 为其运动轨迹上的四点,测得 $ AB = 2 \, m $,$ BC = 3 \, m $,且物体通过 $ AB $、$ BC $、$ CD $ 所用的时间均为 $ 0.2 \, s $,则下列说法正确的是 (BC)

A.物体的加速度为 $ 20 \, m/s^2 $
B.$ CD = 4 \, m $
C.物体在 $ B $ 点时的速度为 $ 12.5 \, m/s $
D.$ OA $ 之间的距离为 $ 1 \, m $
【解析】根据 $ \Delta x = aT^{2} $,可得 $ a = \frac{BC - AB}{T^{2}} = \frac{3 - 2}{0.2^{2}} \, m/s^2 = 25 \, m/s^2 $,A 错误；由于 $ \Delta x = CD - BC = BC - AB $,可知 $ CD = 4 \, m $,B 正确；$ B $ 点为 $ AC $ 的中间时刻,因此 $ B $ 点的速度等于 $ AC $ 间的平均速度 $ v_{B} = \frac{AB + BC}{2T} = \frac{2 + 3}{0.4} \, m/s = 12.5 \, m/s $,C 正确；根据 $ v^{2} = 2ax $,可得 $ OA = \frac{v_{B}^{2}}{2a} - AB = \frac{12.5^{2}}{2 × 25} \, m - 2 \, m = 1.125 \, m $,D 错误.
【答案】BC

答案： BC