《2025年资源库高中物理人教版》

例438 [河北新高考]
如图1-17-49,一个半径为 $ R $ 的玻璃球,$ O $ 点为球心。球面内侧单色点光源 $ S $ 发出的一束光在 $ A $ 点射出,出射光线 $ AB $ 与球直径 $ SC $ 平行,$ \theta = 30° $。光在真空中的传播速度为 $ c $。求：
(i) 玻璃的折射率；
(ii) 从 $ S $ 发出的光线经多次全反射回到 $ S $ 点的最短时间。
【解析】(i) 作出光路图如图1-17-50甲所示,由折射定律可知 $ n = \frac{\sin 2\theta}{\sin \theta} = \sqrt{3} $。
(ii) 当光在玻璃球内的运动路径为正三角形时,路径最短,但此时光在玻璃球内不发生全反射,故考虑光的运动路径为正方形,如图1-17-50乙所示,由全反射知识可知 $ \sin C = \frac{1}{n} = \frac{\sqrt{3}}{3} ＜ \frac{\sqrt{2}}{2} $,光线可在玻璃球内发生全反射,回到 $ S $ 点最短时间 $ t_{min} = \frac{4\sqrt{2}R}{v} $,又 $ n = \frac{c}{v} $,所以 $ t_{min} = \frac{4\sqrt{6}R}{c} $。

【答案】(i) $ \sqrt{3} $ (ii) $ \frac{4\sqrt{6}R}{c} $

答案： (i) 设入射角为$i = \theta$，折射角为$r = 2\theta$，由折射定律$n = \frac{\sin r}{\sin i} = \frac{\sin 2\theta}{\sin \theta} = 2\cos\theta$。已知$\theta = 30°$，则$n = 2\cos30° = \sqrt{3}$。
(ii) 全反射临界角$C$满足$\sin C = \frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。光线经3次全反射形成正方形路径，路程$s = 4 × 2R\sin45° = 4\sqrt{2}R$，传播速度$v = \frac{c}{n}$，时间$t = \frac{s}{v} = \frac{4\sqrt{2}Rn}{c} = \frac{4\sqrt{6}R}{c}$。
(i) $\sqrt{3}$
(ii) $\frac{4\sqrt{6}R}{c}$

例439 [河北新高考]

将两块半径均为 $ R $、完全相同的透明半圆柱体 $ A $、$ B $ 正对放置,圆心上下错开一定距离,如图1-17-51所示。用一束单色光沿半径照射半圆柱体 $ A $,设圆心处入射角为 $ \theta $。当 $ \theta = 60° $ 时,$ A $ 右侧恰好无光线射出；当 $ \theta = 30° $ 时,有光线沿 $ B $ 的半径射出,射出位置与 $ A $ 的圆心相比下移 $ h $。不考虑多次反射。求：

(i) 半圆柱体对该单色光的折射率；
(ii) 两个半圆柱体之间的距离 $ d $。
【解析】(i) 由题意可知,当 $ \theta = 60° $ 时,入射光恰好发生全反射,有 $ \sin 60° = \frac{1}{n} $,解得 $ n = \frac{2}{3}\sqrt{3} $。
(ii) 当 $ \theta = 30° $ 时,有光线沿 $ B $ 的半径射出,光路如图1-17-52所示,由光的折射定律,有 $ n = \frac{\sin \alpha}{\sin \theta} $,由几何知识得 $ h = d \tan \alpha + R \sin \theta $,解得 $ d = \sqrt{2} \left( h - \frac{R}{2} \right) $。


【答案】(i) $ \frac{2}{3}\sqrt{3} $ (ii) $ \sqrt{2} \left( h - \frac{R}{2} \right) $

答案： (i) 当$\theta = 60°$时，光线在A右侧界面恰好发生全反射，此时入射角等于临界角$C$，则$\sin C = \frac{1}{n}$。由题意知$C = 60°$，故$\sin 60° = \frac{1}{n}$，解得$n = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。
(ii) 当$\theta = 30°$时，由折射定律$n = \frac{\sin \alpha}{\sin \theta}$，得$\sin \alpha = n \sin 30° = \frac{2\sqrt{3}}{3} × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。则$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{\sqrt{6}}{3}$，$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。由几何关系$h = d \tan \alpha + R \sin \theta$，代入$\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin 30° = \frac{1}{2}$，解得$d = \sqrt{2}\left(h - \frac{R}{2}\right)$。
(i)$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；(ii)$\sqrt{2}\left(h - \frac{R}{2}\right)$

例440 [重庆新高考]
如图1-17-53所示,一直角棱镜 $ ABC $,$ \angle A = 90° $,$ AC = l $。从 $ AB $ 边界面垂直入射的甲、乙两种不同频率的单色光,在棱镜中传播速度分别为 $ k_1 c $ 和 $ k_2 c $($ 0 ＜ k_1 ＜ k_2 ＜ 1 $,$ c $ 为真空中的光速),甲光第一次到达 $ BC $ 边恰好发生全反射。求：
① 该棱镜分别对甲光和乙光的折射率；
② $ BC $ 边的长度。
【解析】① 由 $ n = \frac{c}{v} $ 可得,该棱镜对甲光的折射率 $ n_1 = \frac{c}{v_{甲}} = \frac{c}{k_1 c} = \frac{1}{k_1} $,该棱镜对乙光的折射率 $ n_2 = \frac{c}{v_{乙}} = \frac{c}{k_2 c} = \frac{1}{k_2} $。

② 由题意知,甲光恰好发生了全反射,光路图如图1-17-54所示,设全反射的临界角为 $ \theta $,由全反射公式可知 $ \sin \theta = \frac{1}{n_1} = k_1 $,由几何关系可知 $ \angle ABC = \theta $,$ \sin \theta = \sin \angle ABC = \frac{l_{AC}}{l_{BC}} $,解得 $ l_{BC} = \frac{l_{AC}}{\sin \theta} = \frac{l}{k_1} $。




【答案】① $ \frac{1}{k_1} $ $ \frac{1}{k_2} $ ② $ \frac{l}{k_1} $

答案： 答题卡：
① 该棱镜对甲光和乙光的折射率：
由 $n = \frac{c}{v}$ 得，对甲光：$n_1 = \frac{1}{k_1}$，
对乙光：$n_2 = \frac{1}{k_2}$。
② $BC$ 边的长度：
设全反射临界角为 $\theta$，由 $\sin\theta = \frac{1}{n_1} = k_1$，
由几何关系得：$\sin\angle ABC = \frac{AC}{BC} = \frac{l}{l_{BC}}$，
即 $l_{BC} = \frac{l}{\sin\theta} = \frac{l}{k_1}$。
综上，答案为：① $\frac{1}{k_1}$，$\frac{1}{k_2}$；② $\frac{l}{k_1}$。