《2025年资源库高中物理人教版》

例$474$［湖南$2024\cdot14$］如图$1-18-69$,有一内半径为$2r$、长为$L$的圆筒,左右端面圆心$O'$、$O$处各开有一小孔.以$O$为坐标原点,取$O'O方向为x轴正方向建立xyz$坐标系.在筒内$x\leq0$区域有一匀强磁场,磁感应强度大小为$B$,方向沿$x$轴正方向；筒外$x\geq0$区域有一匀强电场,场强大小为$E$,方向沿$y$轴正方向.一电子枪在$O'$处向圆筒内多个方向发射电子,电子初速度大小均在$xOy$平面内,且在$x轴正方向的分速度大小均为v_0$.已知电子的质量为$m$、电量为$e$,设电子始终未与筒壁碰撞,不计电子之间的相互作用及电子的重力.
(1)若所有电子均能经过$O$进入电场,求磁感应强度$B$的最小值；

(2)取(1)问中最小的磁感应强度$B$,若进入磁场中电子的速度方向与$x轴正方向最大夹角为\theta$,求$\tan\theta$的绝对值；
(3)取(1)问中最小的磁感应强度$B$,求电子在电场中运动时$y$轴正方向的最大位移.
【解析】(1)电子在匀强磁场中运动时,将其分解为沿$x轴的匀速直线运动和在yOz$平面内的匀速圆周运动,设电子入射时沿$y轴的分速度大小为v_y$,由电子在$x轴方向做匀速直线运动得L= v_0t$,在$yOz$平面内,设电子做匀速圆周运动的半径为$R$,周期为$T$,由牛顿第二定律得$Bev_y= m\frac{v_y^2}{R}$,可得$R= \frac{mv_y}{Be}$,$T= \frac{2\pi R}{v_y}= \frac{2\pi m}{Be}$,由题意可知所有电子均能经过$O$进入电场,则有$t= nT(n= 1,2,3,…)$,联立得$B= \frac{2\pi nmv_0}{eL}$,当$n= 1$时,$B$有最小值,可得$B_{\min}=\frac{2\pi mv_0}{eL}$.

(2)如图$1-18-70$所示,$\tan\theta=\frac{v_y}{v_0}$,当$\tan\theta$有最大值时,$v_y$最大,$R$最大,此时$R= r$,又$B= \frac{2\pi mv_0}{eL}$,$R= \frac{mv_y}{Be}$,联立可得$v_{y\max}=\frac{2\pi v_0r}{L}$,$\tan\theta=\frac{2\pi r}{L}$.
(3)当$v_y$最大时,电子在电场中运动时沿$y轴正方向有最大位移y_m$,根据匀变速直线运动规律有$y_m= \frac{v_{y\max}^2}{2a}$,由牛顿第二定律知$a= \frac{eE}{m}$,又$E= \frac{U_0}{D}$,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,带电粒子在磁场中运动的速度大小为$v$,有$qvB= m\frac{v^2}{r}$,


由题意可知$y= 2r$,解得$D= \frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{3\pi U_0t_0^2}{2B}}$,易得$y_m= \frac{3}{2}y$,带电粒子的运动情况如图$1-18-66$所示,带电粒子自$t= 0$时刻开始,全过程只有电场力对该粒子做功,对该粒子由动能定理有$W= \frac{1}{2}mv_x^2-\frac{1}{2}mv^2$,
其中$v_x^2= v^2+v_y^2$,$v_y= a$,
联立解得$y_m= \frac{2\pi^2r^2v_0^2m}{EeL^2}$.
【答案】(1)$\frac{2\pi mv_0}{eL}$
(2)$\frac{2\pi r}{L}$
(3)$\frac{2\pi^2r^2v_0^2m}{EeL^2}$

答案：
(1)电子在磁场中运动分解为沿x轴匀速直线运动和yOz平面匀速圆周运动。x轴方向：$L = v_0t$；圆周运动：$R = \frac{mv_y}{Be}$，$T = \frac{2\pi m}{Be}$。所有电子过O点需$t = nT$，联立得$B = \frac{2\pi nmv_0}{eL}$，$n=1$时$B_{\min}=\frac{2\pi mv_0}{eL}$。
(2)最大夹角对应最大$v_y$，此时圆周运动半径$R=r$。由$R = \frac{mv_y}{Be}$，代入$B_{\min}$得$v_{y\max}=\frac{2\pi v_0r}{L}$，则$\tan\theta=\frac{v_{y\max}}{v_0}=\frac{2\pi r}{L}$。
(3)电子在电场中$y$方向做匀减速运动，$a = \frac{eE}{m}$，最大位移$y_m=\frac{v_{y\max}^2}{2a}$。代入$v_{y\max}$和$a$得$y_m=\frac{2\pi^2r^2v_0^2m}{EeL^2}$。
【答案】
(1)$\frac{2\pi mv_0}{eL}$；
(2)$\frac{2\pi r}{L}$；
(3)$\frac{2\pi^2r^2v_0^2m}{EeL^2}$