《2025年资源库高中物理人教版》

例 164 如图 1 - 7 - 22 所示,是美国的“卡西尼”号探测器经过长达 7 年的“艰苦”旅行,进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为 $ R $ 的土星上空离土星表面高 $ h $ 的圆形轨道上绕土星飞行,环绕 $ n $ 周飞行时间为 $ t $,已知引力常量为 $ G $,则下列关于土星质量 $ M $ 和平均密度 $ \rho $ 的表达式正确的是(D)

A.$ M = \frac{4\pi^{2}(R + h)^{3}}{Gt^{2}} $,$ \rho = \frac{3\pi(R + h)^{3}}{Gt^{2}R^{3}} $
B.$ M = \frac{4\pi^{2}(R + h)^{2}}{Gt^{2}} $,$ \rho = \frac{3\pi(R + h)^{2}}{Gt^{2}R^{3}} $
C.$ M = \frac{4\pi^{2}t^{2}(R + h)^{3}}{Gn^{2}} $,$ \rho = \frac{3\pi t^{2}(R + h)^{3}}{Gn^{2}R^{3}} $
D.$ M = \frac{4\pi^{2}n^{2}(R + h)^{3}}{Gt^{2}} $,$ \rho = \frac{3\pi n^{2}(R + h)^{3}}{Gt^{2}R^{3}} $
【解析】设“卡西尼”号的质量为 $ m $,“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供,$ G\frac{Mm}{(R + h)^{2}} = m(R + h)(\frac{2\pi}{T})^{2} $,其中 $ T = \frac{t}{n} $,解得 $ M = \frac{4\pi^{2}n^{2}(R + h)^{3}}{Gt^{2}} $。土星体积 $ V = \frac{4}{3}\pi R^{3} $,所以 $ \rho = \frac{M}{V} = \frac{3\pi n^{2}(R + h)^{3}}{Gt^{2}R^{3}} $。
【答案】D
【点拨】球体体积 $ V = \frac{4}{3}\pi R^{3} $。

答案： D

例 165 已知地球质量是月球质量的 81 倍,地球半径是月球半径的 3.8 倍。
(1) 在月球和地球表面附近,以同样的初速度分别竖直上抛一个物体时,上升的最大高度之比是多少？
(2) 在距月球和地球表面相同高度处(此高度较小),以同样的初速度分别水平抛出一个物体时,物体的水平射程之比为多少？
【解析】(1) 在月球和地球表面附近竖直上抛的物体都做匀减速直线运动,其上升的最大高度分别为 $ h_{月} = \frac{v_{0}^{2}}{2g_{月}} $、$ h_{地} = \frac{v_{0}^{2}}{2g_{地}} $,式中 $ g_{月} $ 和 $ g_{地} $ 分别是月球表面和地球表面附近的重力加速度,忽略天体自转,根据物体受到的万有引力等于物体所受的重力得 $ g_{月} = \frac{GM_{月}}{R_{月}^{2}} $,$ g_{地} = \frac{GM_{地}}{R_{地}^{2}} $。于是得物体上升的最大高度之比为 $ \frac{h_{月}}{h_{地}} = \frac{g_{地}}{g_{月}} = \frac{M_{地}R_{月}^{2}}{M_{月}R_{地}^{2}} = 81×(\frac{1}{3.8})^{2} \approx 5.6 $。
(2) 设物体抛出点的高度为 $ H $,初速度为 $ v_{0} $,在月球和地球表面附近平抛的物体在竖直方向做自由落体运动,从抛出到落地所用时间分别为 $ t_{月} = \sqrt{\frac{2H}{g_{月}}} $,$ t_{地} = \sqrt{\frac{2H}{g_{地}}} $。在水平方向做匀速直线运动,其水平射程之比为 $ \frac{s_{月}}{s_{地}} = \frac{v_{0}t_{月}}{v_{0}t_{地}} = \sqrt{\frac{g_{地}}{g_{月}}} = \frac{R_{月}}{R_{地}}\sqrt{\frac{M_{地}}{M_{月}}} = \frac{9}{3.8} \approx 2.37 $。
【答案】(1) $ 5.6 $ (2) $ 2.37 $
【点拨】解答本题的关键是能将地球上抛体运动的规律迁移到月球表面。物体竖直上抛的最大高度由竖直初速度 $ v_{0} $ 及重力加速度 $ g $ 共同决定。寻找地球表面重力加速度与月球表面重力加速度的关系是求解本题的切入点。相同高度、相同初速度水平抛出的物体,由于两地重力加速度不同,则物体飞行的时间不同,也就决定了水平的射程不同。

答案：
(1) $5.6$
(2) $2.37$

例 166 如图 1 - 7 - 23 所示,质量分别为 $ m $ 和 $ M $ 的两个星球 $ A $ 和 $ B $ 在引力作用下都绕 $ O $ 点做匀速圆周运动,星球 $ A $ 和 $ B $ 两者中心之间距离为 $ L $。已知 $ A $、$ B $ 的中心和 $ O $ 点三点始终共线,$ A $ 和 $ B $ 分别在 $ O $ 点的两侧。引力常量为 $ G $。
(1) 求两星球做圆周运动的周期。
(2) 在地月系统中,若忽略其他星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球 $ A $ 和 $ B $,月球绕其轨道中心运行的周期为 $ T_{1} $。但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期为 $ T_{2} $。地球质量 $ M' $,月球质量 $ m' $,求 $ T_{2} $ 与 $ T_{1} $ 两者平方之比。
【解析】(1) $ A $ 和 $ B $ 绕 $ O $ 做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供向心力,则 $ A $ 和 $ B $ 的向心力相等。且 $ A $ 和 $ B $ 与 $ O $ 始终共线,说明 $ A $ 和 $ B $ 有相同的角速度和周期。设 $ A $、$ B $ 的运动半径分别为 $ r $、$ R $,因此有 $ m\omega^{2}r = M\omega^{2}R $,$ r + R = L $,联立解得 $ R = \frac{m}{m + M}L $,$ r = \frac{M}{m + M}L $。对 $ A $ 分析,根据万有引力提供向心力得 $ \frac{GMm}{L^{2}} = m(\frac{2\pi}{T})^{2} \cdot \frac{M}{m + M}L $,化简得 $ T = 2\pi\sqrt{\frac{L^{3}}{G(M + m)}} $。
(2) 将地月看成双星,由(1)得 $ T_{1} = 2\pi\sqrt{\frac{L^{3}}{G(M' + m')}} $。根据万有引力提供向心力得 $ \frac{GM'm'}{L'^{2}} = m'(\frac{2\pi}{T_{2}})^{2}L' $,化简得 $ T_{2} = 2\pi\sqrt{\frac{L^{3}}{GM'}} $。所以两个周期的平方之比为 $ (\frac{T_{2}}{T_{1}})^{2} = \frac{m' + M'}{M'} $。
【答案】(1) $ 2\pi\sqrt{\frac{L^{3}}{G(M + m)}} $ (2) $ \frac{m' + M'}{M'} $
【点拨】双星做匀速圆周运动的角速度相等,周期也相等,其轨道半径和线速度均与各自的质量成反比。

答案： 【答题卡】
(1)
根据题意，两星球的向心力由万有引力提供，且角速度相同：
设两星球运动半径分别为 $r$ 和 $R$，则：
$m\omega^2 r = M\omega^2 R$
$r + R = L$
解得：
$R = \frac{m}{m + M}L$
$r = \frac{M}{m + M}L$
对星球 $A$，由万有引力提供向心力：
$\frac{GMm}{L^2} = m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \cdot \frac{M}{m + M}L$
化简得：
$T = 2\pi \sqrt{\frac{L^3}{G(M + m)}}$
(2)
地月系统为双星模型时，周期 $T_1$ 为：
$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L^3}{G(M' + m')}}$
若认为月球绕地心运动，由万有引力提供向心力：
$\frac{GM'm'}{L'^2} = m'\left(\frac{2\pi}{T_2}\right)^2 L'$
化简得：
$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L'^3}{GM'}}$
由于 $L'$ 为地月距离，与双星模型中 $L$ 相同，故周期平方之比为：
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \frac{M' + m'}{M'}$
【答案】
(1) $2\pi \sqrt{\frac{L^3}{G(M + m)}}$
(2) $\frac{M' + m'}{M'}$