《2025年资源库高中物理人教版》

例147 有一列重为100t的火车,以72km/h的速率匀速通过一条内、外轨一样高的弯道,轨道半径为400m,g取10m/s^2。
(1)试计算轨道受到的侧压力；
(2)若要使火车以此速率通过弯道,且使轨道受到的侧压力为零,我们可以适当倾斜路基,试计算路基倾斜角度θ的正切值。
【解析】(1)外轨对车轮的侧压力提供火车转弯时所需要的向心力,所以有$F_{N}= m\frac{v^{2}}{r}= \frac{10^{5}×20^{2}}{400}N= 10^{5}N$。
由牛顿第三定律可知轨道受到的侧压力大小等于$10^{5}N$。
(2)火车过弯道,要使轨道受到的侧压力为零,则重力和轨道对火车的支持力的合力正好提供向心力,即$mg\tan\theta=m\frac{v^{2}}{r}$,
由此可得$\tan\theta=\frac{v^{2}}{rg}= \frac{1}{10}$。
【答案】(1)$10^{5}N$ (2)$\frac{1}{10}$

答案：
(1)已知火车质量$m = 100t=10^{5}kg$，速率$v = 72km/h=20m/s$，轨道半径$r = 400m$。外轨对车轮的侧压力提供向心力，由$F_{N}=m\frac{v^{2}}{r}$，代入数据得$F_{N}=10^{5}×\frac{20^{2}}{400}N = 10^{5}N$。由牛顿第三定律，轨道受到的侧压力大小为$10^{5}N$。
(2)侧压力为零时，重力与支持力的合力提供向心力，即$mg\tan\theta=m\frac{v^{2}}{r}$，解得$\tan\theta=\frac{v^{2}}{rg}=\frac{20^{2}}{400×10}=\frac{1}{10}$。
(1)$10^{5}N$；
(2)$\frac{1}{10}$

例148 一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱桥后,接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥。设两圆弧半径相等,汽车通过拱形桥桥顶时,对桥面的压力$F_{N1}$为车重的一半,汽车通过凹形桥的最低点时,对桥面的压力为$F_{N2}$,求$F_{N1}与F_{N2}$之比。
【解析】汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时,由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力。
如图1-6-21甲所示,汽车过圆弧形拱形桥的最高点时,由牛顿第三定律可知,汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等,即$F_{N1}= F_{N1}'$ ①
所以由牛顿第二定律可得$mg-F_{N1}'= \frac{mv^{2}}{R}$ ②

同样,如图1-6-21乙所示,$F_{N2}'= F_{N2}$,汽车过圆弧形凹形桥的最低点时,有$F_{N2}'-mg= \frac{mv^{2}}{R}$ ③
由题意可知$F_{N1}= \frac{1}{2}mg$ ④
由①②③④式得$F_{N2}= \frac{3}{2}mg$,所以$F_{N1}:F_{N2}= 1:3$。
【答案】$1:3$

答案： $1:3$

例149 如图1-6-22甲所示,质量为m的小球与轻绳一端相连,绕另一端点O在竖直平面内做圆周运动,圆周运动半径为R,重力加速度为g,忽略一切阻力的影响。现测得绳子对小球的拉力T随时间变化的图线如图1-6-22乙所示,则(B)

A.$t_{2}= 2t_{1}$
B.$t_{1}$时刻小球在与O点等高的位置
C.$t_{2}时刻小球的速度大小为\sqrt{6gR}$
D.$t_{4}$时刻小球的速度恰好为零
【解析】根据图1-6-22乙可知,0时刻在最高点,绳的拉力为零,由重力提供向心力,则有$mg= \frac{mv_{0}^{2}}{R}$,解得$v_{0}= \sqrt{gR}$,小球从最高点到与O点等高位置,由动能定理有$mgR= \frac{1}{2}mv_{1}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$,且在与O点等高位置由拉力提供向心力,设此时拉力为$T_{1}$,有$T_{1}= \frac{mv_{1}^{2}}{R}$,联立解得$T_{1}= 3mg$,故$t_{1}$时刻轻绳位于水平方向,故B正确；由图1-6-22乙可知,$t_{2}$时刻小球到达最低点,由重力与绳子拉力的合力提供向心力,则有$6mg-mg= m\frac{v_{2}^{2}}{R}$,解得$v_{2}= \sqrt{5gR}$,故C错误；$t_{4}$时刻小球到达最高点,运动状态同0时刻,即速度大小为$\sqrt{gR}$,故D错误；因为小球在竖直平面内做圆周运动,从最高点到最低点速度逐渐增大,所以$t_{2}\neq2t_{1}$,故A错误。
【答案】B

答案： B