《2025年资源库高中物理人教版》

例287 [江苏高考]一匀强电场的方向竖直向上. $t = 0$时刻,一带电粒子以一定初速度水平射入该电场,电场力对粒子做功的功率为$P$,不计粒子重力,则$P - t$关系图像(图1-10-49)是( )
【解析】由于不计粒子重力,带电粒子垂直射入电场中,粒子将做类平抛运动,设$t时刻粒子速度为v$,与水平方向夹角为$\alpha$,则电场力的功率$P = Fv\sin\alpha = Eqv_y$,$v_y = at = \frac{Eq}{m}t$,整理得$P = \frac{E^2 q^2}{m}t$,其中$E$、$q$、$m$分别为匀强电场的电场强度、粒子的电荷量和粒子的质量,它们均为定值,所以$P \propto t$,即功率与时间成正比,选项A正确,B、C、D错误.
【答案】A

答案： A

例288 [全国高考]四个带电粒子的电荷量和质量分别为$(+q,m)$、$(+q,2m)$、$(+3q,3m)$、$(-q,m)$,它们先后以相同的速度从坐标原点沿$x$轴正方向射入一匀强电场中,电场方向与$y$轴平行,不计重力,下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像(图1-10-50)中,可能正确的是( )
【解析】若电场方向沿$y$轴负方向,负电荷向$y$轴正方向偏转,正电荷向$y$轴负方向偏转,设沿$x轴位移为x'$,沿$y轴位移为y'$,则有$x' = vt$,$a = \frac{q'E}{m'}$,$y' = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} × \frac{q'E}{m'} × \frac{x'^2}{v^2} = \frac{q'Ex'^2}{2m'v^2}$,带同种电荷且比荷相同的粒子轨迹相同,正、负电荷比荷相同时轨迹关于$x$轴对称,且比荷越小,偏转程度越小,A正确,B、C错误；同理可知,电场方向沿$y$轴正方向时,D正确.
【答案】AD

答案： AD

例289 [江苏新高考]某装置用电场控制带电粒子运动,工作原理如图1-10-51所示. 矩形$ABCD$区域内存在多层紧邻的匀强电场,每层的高度均为$d$,电场强度大小均为$E$,方向沿竖直方向交替变化. $AB边长为12d$,$BC边长为8d$. 质量为$m$、电荷量为$+q$的粒子流从装置左端中点射入电场,粒子初动能为$E_k$. 入射角为$\theta$,在纸面内运动. 不计重力及粒子间的相互作用力.
(1)当$\theta = \theta_0$时,若粒子能从$CD$边射出,求该粒子通过电场的时间$t$；
(2)当$E_k = 4qEd$时,若粒子从$CD边射出电场时与轴线OO'的距离小于d$,求入射角$\theta$的范围；
(3)当$E_k = \frac{8}{3}qEd$,粒子在$\theta为-\frac{\pi}{2} \sim \frac{\pi}{2}$范围内均匀射入电场,求从$CD边出射的粒子与入射粒子的数量之比N:N_0$.
【解析】(1)设粒子进入电场的初速度为$v_0$,由$E_k = \frac{1}{2}mv_0^2$,可得$v_0 = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$. 粒子进入电场后,沿图示水平方向做匀速直线运动,竖直方向做分段的匀变速直线运动,图示水平方向分速度$v_x = v_0\cos\theta_0 = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}\cos\theta_0$,该粒子通过电场的时间$t = \frac{x}{v_x} = \frac{8d}{v_x} = \frac{8d}{\cos\theta_0}\sqrt{\frac{m}{2E_k}}$.
(2)粒子进入电场后,图示竖直方向的初速度$v_{y0} = v_0\sin\theta = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}\sin\theta$,加速度$a_y = \frac{qE}{m}$,由题中“粒子从$CD边射出电场时与轴线OO'的距离小于d$”可知,粒子在电场中沿图示竖直方向做匀减速运动,减速位移$y ＜ d$,由位移公式可得$\frac{0 - v_{y0}^2}{-2a_y} ＜ d$,代入数据,解得$-\frac{\pi}{6} ＜ \theta ＜ \frac{\pi}{6}$,即粒子入射角$\theta的范围为(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6})$.
(3)假设某粒子从$O$点进入,恰好从$D$点射出电场,该粒子进入电场的入射角为$\theta_x$,该粒子在电场中的运动时间$t' = \frac{8d}{v_x'} = \frac{8d}{\cos\theta_x}\sqrt{\frac{m}{2E_k}}$,分析电场分布可知,该粒子在图示竖直方向做分段的匀变速直线运动,位移、时间和速度都具有对称性,该粒子通过每段电场的时间$t_0 = \frac{1}{6}t' = \frac{4d}{3\cos\theta_x}\sqrt{\frac{m}{2E_k}}$,在图示竖直方向,由位移公式有$d = v_y't_0 - \frac{1}{2}a_y t_0^2$,此时$v_y' = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}\sin\theta_x$,代入数据,解得$\theta_x = \frac{\pi}{4}$(另一根不符合题意,舍去),由此可知,入射角为$-\frac{\pi}{4} \sim \frac{\pi}{4}射入电场的粒子将从CD$边射出,从$CD$边出射的粒子与入射粒子的数量之比等于入射角度范围之比,即$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{2}$.
【答案】(1)$\frac{8d}{\cos\theta_0}\sqrt{\frac{m}{2E_k}}$(2)$(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6})$(3)$\frac{1}{2}$

答案：
(1) 设粒子的初速度为 $v_0$，由 $E_k = \frac{1}{2}mv_0^2$，得：
$v_0 = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$，
粒子在水平方向做匀速直线运动，水平分速度为：
$v_x = v_0 \cos\theta_0 = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} \cos\theta_0$，
粒子通过电场的时间 $t$ 为：
$t = \frac{x}{v_x} = \frac{8d}{v_x} = \frac{8d}{\cos\theta_0} \sqrt{\frac{m}{2E_k}}$。
（2）粒子竖直方向初速度为：
$v_{y0} = v_0 \sin\theta = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} \sin\theta$，
加速度为：
$a_y = \frac{qE}{m}$，
由位移公式，竖直方向位移 $y$ 满足：
$\frac{0 - v_{y0}^2}{-2a_y} ＜ d$，
代入数据，解得：
$-\frac{\pi}{6} ＜ \theta ＜ \frac{\pi}{6}$。
（3）粒子恰好从 $D$ 点射出时，设入射角为 $\theta_x$，运动时间为：
$t' = \frac{8d}{v_x'} = \frac{8d}{\cos\theta_x} \sqrt{\frac{m}{2E_k}}$，
每段电场运动时间为：
$t_0 = \frac{1}{6}t' = \frac{4d}{3\cos\theta_x} \sqrt{\frac{m}{2E_k}}$，
竖直方向位移公式：
$d = v_y't_0 - \frac{1}{2}a_y t_0^2$，
其中 $v_y' = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} \sin\theta_x$，代入数据解得：
$\theta_x = \frac{\pi}{4}$，
因此，入射角范围为 $-\frac{\pi}{4} \sim \frac{\pi}{4}$ 的粒子将从 $CD$ 边射出，出射粒子与入射粒子数量之比为：
$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{2}$。