《2025年资源库高中物理人教版》

典型$16$天体运动的追及问题
例$175设地球的自转角速度为\omega_{0}$,地球半径为$R$,地球表面重力加速度为$g$,某人造卫星在赤道上空做匀速圆周运动,轨道半径为$r$,且$r ＜ 5R$(同步卫星的轨道半径约为$6R$),运行方向与地球的自转方向相同,在某时刻,该人造卫星恰好通过赤道上某建筑物的正上方,则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的时间为 (D)
A.$2\pi(\sqrt{\frac{gR^{2}}{r^{3}}} - \omega_{0})$
B.$\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{gR^{2}}{r^{3}}} + \omega_{0}}$
C.$2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{gR^{2}}}$
D.$\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{gR^{2}}{r^{3}}} - \omega_{0}}$
【解析】因为同步卫星的轨道半径大约为地球半径的$6$倍,根据万有引力定律及牛顿第二定律知,轨道半径越大的卫星运行的角速度越小,而同步卫星与地球自转的角速度相同,因此该人造卫星运行的角速度比地球上某建筑物随地球转动的角速度大,因此再次出现在建筑物正上方时,说明卫星已经比建筑物多运动了一圈,设$\theta_{卫} - \theta_{地} = 2\pi$,$\theta_{卫} = \omega_{1}t$,$\theta_{地} = \omega_{0}t$,由于卫星做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力有$\frac{GMm}{r^{2}} = mr\omega_{1}^{2}$,在地球表面,物体受到的万有引力等于重力有$\frac{GMm'}{R^{2}} = m'g$,联立解得$t = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{gR^{2}}{r^{3}}} - \omega_{0}}$,D项正确.
【答案】D
【点拨】关于从相距最近开始计时的天体追及问题的处理,一是根据$\frac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$判断出谁的角速度大,然后根据追上或两星相距最近时满足两星运行的弧度差等于$2\pi的整数倍或相距最远时满足两星运行的弧度差等于\pi$的奇数倍来处理追及问题. 若卫星与地球表面赤道上的物体追及时,要根据地球上物体与同步卫星的角速度相同的特点进行处理.

答案： D