《2025年资源库高中物理人教版》

例 200 如图 1 - 8 - 19 所示,质量为 $ m $ 的小球从斜面上距水平面高度为 $ h $ 处的 $ A $ 点滚下,经过水平面 $ BC $ 后,再滚上另一斜面,当它到达距水平面高度为 $ \dfrac{h}{4} $ 的 $ D $ 点时,速度为零。重力加速度为 $ g $,在这个过程中,重力做功为( )

A.$ \dfrac{mgh}{4} $
B.$ \dfrac{3mgh}{4} $
C.$ mgh $
D.$ 0 $
【解析】根据重力做功的公式得 $ W = mg\left( h - \dfrac{h}{4} \right) = \dfrac{3mgh}{4} $,B 正确。
【答案】B

答案： B

例 201 如图 1 - 8 - 20 所示,质量为 $ m $ 的物体静止在地面上,物体上面连着一个直立的轻质弹簧,弹簧的劲度系数为 $ k $。现用手拉住弹簧上端,将弹簧上端缓慢提升高度 $ h $,此时物体已经离开地面,已知重力加速度为 $ g $,求物体重力势能的增加量。
【解析】物体离开地面后,弹簧的伸长量为 $ \Delta x = \dfrac{mg}{k} $,物体上升的高度为 $ \Delta h = h - \Delta x = h - \dfrac{mg}{k} $,则物体重力势能的增加量为 $ \Delta E_{p} = mg\Delta h = mg\left( h - \dfrac{mg}{k} \right) $。
【答案】$ mg\left( h - \dfrac{mg}{k} \right) $
【点拨】由于弹簧的伸长,物体被提升的高度等于弹簧上端提升的高度与弹簧伸长量之差。

答案： $mg \left( h - \frac{mg}{k} \right)$。

例 202 如图 1 - 8 - 21 所示,有一连通器,$ A $、$ B $ 两管的横截面积均为 $ S $,内盛密度为 $ \rho $ 的液体,开始时两管内的液面高度差为 $ h $。若打开底部中央的阀门 $ K $,液体开始流动,最终左右液面相平,重力加速度为 $ g $。在这一过程中,液体的重力势能变化了多少？是增加了还是减少了？如果是减少了,减少的重力势能转化为什么能？


【解析】由于 $ A $、$ B $ 两管横截面积相等,液体是不可压缩的,所以 $ B $ 管中液面下降的高度和 $ A $ 管中液面上升的高度相同,液面最终静止在距初始状态 $ A $ 管液面上方 $ \dfrac{1}{2}h $ 处。因为物体的重力势能变化与过程无关,只与初、末状态的位置有关,所以可以将过程简化,视为将 $ B $ 管中 $ \dfrac{1}{2}h $ 高的液柱移动到 $ A $ 管中,达到最终状态,而其他的液体的位置没有变化,对应的重力势能也没有变化,全部液体重力势能的变化量等效于 $ B $ 管上部 $ \dfrac{1}{2}h $ 高的液柱重力势能的减少量。不难看出,$ B $ 管中重力势能变化的部分液柱,其重心的高度降低了 $ \Delta h = \dfrac{1}{2}h $,它的重力 $ mg = \dfrac{1}{2}hS\rho g $,所以液体重力势能减少了 $ \Delta E_{p} = mg\Delta h = \dfrac{1}{2}hS\rho g \cdot \dfrac{1}{2}h = \dfrac{1}{4}h^{2}\rho gS $,根据能量守恒定律得,减少的重力势能全部转化为系统的内能。

【答案】见解析

答案： 重力势能变化量为减少了$\frac{1}{4}\rho g h^2 S$；减少的重力势能转化为内能。
解析：
1. 液面变化分析：因A、B两管横截面积相等且液体不可压缩，初始液面高度差为$h$，最终液面相平，故B管液面下降$\frac{h}{2}$，A管液面上升$\frac{h}{2}$。
2. 等效液柱选取：整个液体重力势能变化等效于B管上部高$\frac{h}{2}$的液柱（质量$m = \rho S \cdot \frac{h}{2}$）的重力势能变化。
3. 重心高度变化：该液柱初重心在B管最终液面上方$\frac{h}{4}$，末重心在A管最终液面下方$\frac{h}{4}$，重心下降高度$\Delta h = \frac{h}{2}$。
4. 重力势能变化计算：$\Delta E_p = -m g \Delta h = -\left(\rho S \cdot \frac{h}{2}\right) g \cdot \frac{h}{2} = -\frac{1}{4}\rho g h^2 S$，负号表示减少。
5. 能量转化：减少的重力势能转化为系统内能。
结论：液体重力势能减少了$\frac{1}{4}\rho g h^2 S$，减少的重力势能转化为内能。