《2025年资源库高中物理人教版》

例38 甲、乙两辆车(均可视为质点)在同一平直道路上的两并排车道上同向行驶,初始时甲车在乙车前方 $x_0$ 处,甲的位移—时间关系和乙的速度—时间关系分别为 $x_{甲} = t^2 + 10t\ (SI)$ 和 $v_{乙} = t + 20\ (SI)$,式中各物理量均取国际单位制单位,下列说法正确的是 (BC)
A.无论 $x_0$ 取何值,两车都不可能相遇
B.若 $x_0 = 50\ m$,两车只相遇 $1$ 次
C.若 $x_0 = 40\ m$,两车相遇 $2$ 次
D.若 $x_0 = 10\ m$,两车只相遇 $1$ 次
【解析】由甲车的位移—时间关系 $x_{甲} = t^2 + 10t\ (SI)$ 与匀变速直线运动的位移—时间公式 $x = v_0t + \dfrac{1}{2}at^2$ 对比可知,甲车的初速度 $v_{0甲} = 10\ m/s$,$a_{甲} = 2\ m/s^2$；乙车的速度—时间关系 $v_{乙} = t + 20\ (SI)$ 与匀变速直线运动的速度—时间公式 $v = v_0 + at$ 对比,可知 $v_{0乙} = 20\ m/s$,$a_{乙} = 1\ m/s^2$.若两车相遇则有 $x_0 = x_{乙} - x_{甲} = v_{0乙}t + \dfrac{1}{2}a_{乙}t^2 - \left(v_{0甲}t + \dfrac{1}{2}a_{甲}t^2\right)$,代入数据整理可得 $-\dfrac{1}{2}t^2 + 10t - x_0\ (SI) = 0$,由二次函数的判别式 $\Delta = \sqrt{100\ m - 2x_0} \geqslant 0$,当 $x_0 \leqslant 50\ m$ 时,两车都有相遇的机会,A 错误；若 $x_0 = 50\ m$,则有 $-\dfrac{1}{2}t^2 + 10t - 50\ (SI) = 0$,代入数据解得 $t = 10\ s$,两车只相遇 $1$ 次,B 正确；若 $x_0 = 40\ m$ 时,则有 $-\dfrac{1}{2}t^2 + 10t - 40\ (SI) = 0$,解得 $t_1 = (10 - 2\sqrt{5})\ s$,$t_2 = (10 + 2\sqrt{5})\ s$,可知两车相遇 $2$ 次,C 正确；若 $x_0 = 10\ m$,则有 $-\dfrac{1}{2}t^2 + 10t - 10\ (SI) = 0$,解得 $t_1 = (10 - 4\sqrt{5})\ s$,$t_2 = (10 + 4\sqrt{5})\ s$,可知两车相遇 $2$ 次,D 错误.
【答案】BC

答案： BC

例39 [全国高考]长为$l$的高速列车在平直轨道上正常行驶,速率为$v_0$,要通过前方一长为$L$的隧道,当列车的任一部分处于隧道内时,列车速率都不允许超过$v(v ＜ v_0)$。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为$a和2a$,则列车从减速开始至回到正常行驶速率$v_0$所用时间至少为(C)
A.$\dfrac{v_0 - v}{2a} + \dfrac{L + l}{v}$
B.$\dfrac{v_0 - v}{a} + \dfrac{L + 2l}{v}$
C.$\dfrac{3(v_0 - v)}{2a} + \dfrac{L + l}{v}$
D.$\dfrac{3(v_0 - v)}{a} + \dfrac{L + 2l}{v}$
【解析】由题知,当列车的任一部分处于隧道内时,列车速率都不允许超过$v(v ＜ v_0)$,则列车进隧道前至少要减速到$v$,则有$v = v_0 - 2at_1$,解得$t_1 = \dfrac{v_0 - v}{2a}$,在隧道内匀速有$t_2 = \dfrac{L + l}{v}$,列车尾部出隧道后立即加速到$v_0$,有$v_0 = v + at_3$,解得$t_3 = \dfrac{v_0 - v}{a}$,则列车从减速开始至回到正常行驶速率$v_0所用时间至少为t = t_1 + t_2 + t_3 = \dfrac{3(v_0 - v)}{2a} + \dfrac{L + l}{v}$,故C正确。
【答案】C

答案： C

例40 [海南2024·5]商场自动感应门如图1-2-38所示,人走进时两扇门从静止开始同时向左右平移,经$4$ s恰好完全打开,两扇门移动距离均为$2$ m,若门从静止开始以相同加速度大小先匀加速运动后匀减速运动,完全打开时速度恰好为$0$,则加速度的大小为( )

A.$1.25$ m/s^2
B.$1$ m/s^2
C.$0.5$ m/s^2
D.$0.25$ m/s^2
【解析】设加速度的大小为$a$,根据题意可知匀加速运动与匀减速运动过程对称,根据$s = \dfrac{1}{2}at^2可得1$ m = $\dfrac{1}{2}a \cdot (2$ s)^2,解得加速度大小$a = 0.5$ m/s^2,C正确。
【答案】C
【多解】设门的最大速度为$v$,根据匀变速直线运动的规律可知加速过程和减速过程的平均速度均为$\dfrac{v}{2}$,且运动时间相等,均为$2$ s,根据$x = \dfrac{v}{2} × 4$ s,可得$v = 1$ m/s,则加速度大小$a = \dfrac{v}{t} = 0.5$ m/s^2,C正确。

答案： C