《2025年资源库高中物理人教版》

例 415 [全国高考]如图 1-17-17,直角三角形 $ABC$ 为一棱镜的横截面,$\angle A = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$。一束光线平行于底边 $BC$ 射到 $AB$ 边上并进入棱镜,然后垂直于 $AC$ 边射出。
(i) 求棱镜的折射率；
(ii) 保持 $AB$ 边上的入射点不变,逐渐减小入射角,直到 $BC$ 边上恰好有光线射出,求此时 $AB$ 边上入射角的正弦。
【解析】(i) 光路图及相关量如图 1-17-18 所示。
光束在 $AB$ 边上折射,由折射定律得 $\frac{\sin i}{\sin \alpha} = n$ ①
式中 $n$ 是棱镜的折射率。
由几何关系可知 $\alpha + \beta = 60^{\circ}$ ②
由几何关系和反射定律得 $\beta = \beta' = \angle B$ ③
联立①②式,并代入 $i = 60^{\circ}$ 得 $n = \sqrt{3}$ ④
(ii) 设改变后的入射

角

为

$i'$,折射角为 $\alpha'$,由折射定律得 $\frac{\sin i'}{\sin \alpha'} = n$ ⑤
依题意,光束在 $BC$ 边上的入射角为全反射的临界角 $\theta_{C}$,且 $\sin \theta_{C} = \frac{1}{n}$ ⑥
由几何关系得 $\theta_{C} = \alpha' + 30^{\circ}$ ⑦
由④⑤⑥⑦式得入射角的正弦为 $\sin i' = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}$ ⑧
【答案】(i) $\sqrt{3}$ (ii) $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}$

答案： (i) 光线在AB边折射，入射角$i = 60°$，折射角为$\alpha$。由折射定律$\frac{\sin i}{\sin \alpha} = n$。
几何关系：$\alpha + \beta = 60°$，且$\beta = \angle B = 30°$，故$\alpha = 30°$。
解得$n = \frac{\sin 60°}{\sin 30°} = \sqrt{3}$。
(ii) 设入射角为$i'$，折射角为$\alpha'$，折射定律$\frac{\sin i'}{\sin \alpha'} = n$。
BC边恰好有光线射出时，入射角为临界角$\theta_C$，$\sin \theta_C = \frac{1}{n}$。
几何关系：$\theta_C = \alpha' + 30°$，则$\alpha' = \theta_C - 30°$。
$\sin \alpha' = \sin(\theta_C - 30°) = \sin \theta_C \cos 30° - \cos \theta_C \sin 30°$，其中$\sin \theta_C = \frac{1}{\sqrt{3}}$，$\cos \theta_C = \frac{\sqrt{6}}{3}$。
代入得$\sin \alpha' = \frac{3 - \sqrt{6}}{6}$，故$\sin i' = n \sin \alpha' = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}$。
(i) $\sqrt{3}$
(ii) $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}$

例 416 [湖北 2023·6]如图 1-17-19 所示,楔形玻璃的横截面 $POQ$ 的顶角为 $30^{\circ}$,$OP$ 边上的点光源 $S$ 到顶点 $O$ 的距离为 $d$,垂直于 $OP$ 边的光线 $SN$ 在 $OQ$ 边的折射角为 $45^{\circ}$。不考虑多次反射,$OQ$ 边上有光射出部分的长度为(C)

A.$\frac{1}{2}d$

B.$\frac{\sqrt{2}}{2}d$
C.$d$
D.$\sqrt{2}d$
【解析】由几何关系可知,题中所给光路在 $OQ$ 边的入射角是 $30^{\circ}$,可得折射率 $n = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \sqrt{2}$。根据 $n = \frac{1}{\sin C}$,可知光线发生全反射的临界角 $C = 45^{\circ}$,作出恰好在 $OQ$ 边界发生全反射时的光线如图 1-17-20 所示,则有光射出的长度就是 $AB$ 的长度,过 $S$ 点作 $OQ$ 的垂线交 $OQ$ 于 $F$ 点,则在 $\triangle OSF$ 中,$SF = \frac{1}{2}d$,根据几何关系可知,$AF = SF = BF$,所以 $AB = d$,C 正确。


【答案】C
【多解】利用正弦定理理解三角形
对 $\triangle OSB$ 使用正弦定理,有 $\frac{\sin 30^{\circ}}{SB} = \frac{\sin 135^{\circ}}{d}$,解得 $SB = \frac{\sqrt{2}}{2}d$,由几何关系可知 $\triangle ABS$ 是等腰直角三角形,因此 $AB = d$。

答案： C

例 417 [浙江选考]如图 1-17-21 所示,一束光与某材料表面成 $45^{\circ}$ 角入射,每次反射的光能量为入射光能量的 $k$ 倍 $(0 ＜ k ＜ 1)$。若这束光最终进入材料的能量为入射光能量的 $(1 - k^2)$ 倍,则该材料折射率至少为( )




A.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$1.5$
D.$2$
【解析】由题意可知,这束光经过第二次反射时的折射光进入材料后会发生全反射,光路图如图 1-17-22 所示,设在 $b$ 点的折射角为 $\theta$,全反射临界角为 $C$,在 $c$ 点的入射角为 $90^{\circ} - \theta$,则有 $\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin \theta} = n$,$\frac{1}{\sin C} = n$,$90^{\circ} - \theta \geq C$,解得 $n \geq \frac{\sqrt{6}}{2}$,故 A 正确。





【答案】A

答案： A