《2025年资源库高中物理人教版》

例 418 如图 1-17-23 所示,平静湖面岸边的垂钓者,眼睛恰好位于岸边 $P$ 点正上方 $h_1 = 0.9\ m$ 的高度处,浮标 $Q$ 离 $P$ 点 $S_1 = 1.2\ m$ 远,鱼饵灯 $M$ 在浮标正前方 $S_2 = 1.8\ m$ 处的水下,垂钓者发现鱼饵灯刚好被浮标挡住,已知水的折射率 $n = \frac{4}{3}$,求：
(1) 鱼饵灯在水中的深度；
(2) 若鱼饵灯缓慢竖直上浮,当它离水面多深时,鱼饵灯发出的光恰好无法从水面 $PQ$ 间射出(结果保留三位有效数字)。
【解析】(1) 如图 1-17-24 所示,设入射角、折射角分别为 $r$、$i$,设鱼饵灯离水面的深度为 $h_2$。则有
$\sin i = \frac{s_1}{\sqrt{s_1^2 + h_1^2}}$,$\sin r = \frac{s_2}{\sqrt{s_2^2 + h_2^2}}$,
根据光的折射定律可知 $n = \frac{\sin i}{\sin r}$,
联立解得 $h_2 = 2.4\ m$。
(2) 当鱼饵灯离水面深度为 $h_3$ 时,水面 $PQ$ 间恰好无光射出,此时鱼饵灯与浮标的连线和竖直方向夹角恰好为临界角 $C$,则有 $\sin C = \frac{1}{n}$,
由 $\sin C = \frac{s_2}{\sqrt{s_2^2 + h_3^2}}$,
得 $h_3 \approx 1.59\ m$。
【答案】(1)2.4 m(2)1.59 m

答案：
(1)由折射定律$n=\frac{\sin i}{\sin r}$，其中$\sin i=\frac{s_1}{\sqrt{s_1^2 + h_1^2}}$，$\sin r=\frac{s_2}{\sqrt{s_2^2 + h_2^2}}$。代入数据：$\frac{4}{3}=\frac{\frac{1.2}{\sqrt{1.2^2 + 0.9^2}}}{\frac{1.8}{\sqrt{1.8^2 + h_2^2}}}$，解得$h_2=2.4\ m$。
(2)临界角满足$\sin C=\frac{1}{n}$，且$\sin C=\frac{s_2}{\sqrt{s_2^2 + h_3^2}}$。即$\frac{3}{4}=\frac{1.8}{\sqrt{1.8^2 + h_3^2}}$，解得$h_3\approx1.59\ m$。

例 419 湿地公园有一处矩形观景台伸向水面,如图 1-17-25 所示,观景台下表面恰好和水面相平,$A$ 为观景台右侧面在湖底的投影,水深 $h = 4\ m$。在距观景台右侧面 $x = 4\ m$ 处有一可沿竖直方向移动的单色点光源 $S$,在该光源 $S$ 从距水面高 $3\ m$ 处向下移动到接近水面的过程中,观景台水下被照亮的最远距离为 $AC$,最近距离为 $AB$,且 $AB = 3\ m$。求：
(1) 该单色光在水中的折射率；
(2) $AC$ 的距离(保留两位有效数字)。
【解析】(1) 如图 1-17-26 所示,点光源 $S$ 在距水面高 $h_0 = 3\ m$ 处发出的光在观景台右侧面与水面交接处折射到水里时,被照亮的距离为最近距离 $AB$,
由于 $n = \frac{\sin i}{\sin r}$,
所以,水的折射率 $n = \frac{\frac{x}{\sqrt{h_0^2 + x^2}}}{\frac{AB}{\sqrt{AB^2 + h^2}}} = \frac{4}{3}$。
(2) 点光源 $S$ 接近水面时,光在观景台右侧面与水面交接处折射到水里时,被照亮的距离为最远距离 $AC$,此时,入射角为 $90^{\circ}$,折射角为临界角 $C_0$,
则 $n = \frac{\sin 90^{\circ}}{\sin C_0} = \frac{\sqrt{AC^2 + h^2}}{AC} = \frac{4}{3}$,
解得 $AC \approx 4.5\ m$。
【答案】(1) $\frac{4}{3}$ (2) $4.5\ m$

答案：
(1) 由折射定律 $ n = \frac{\sin i}{\sin r} $，当光源距水面高 $ h_0 = 3\ m $ 时，照亮最近距离 $ AB = 3\ m $。
入射角正弦 $ \sin i = \frac{x}{\sqrt{h_0^2 + x^2}} = \frac{4}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{4}{5} $，
折射角正弦 $ \sin r = \frac{AB}{\sqrt{AB^2 + h^2}} = \frac{3}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{3}{5} $，
则 $ n = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} $。
(2) 光源接近水面时，入射角 $ i = 90° $，$ \sin i = 1 $，此时折射角为临界角，$ \sin r = \frac{1}{n} = \frac{3}{4} $。
由几何关系 $ \sin r = \frac{AC}{\sqrt{AC^2 + h^2}} $，代入 $ h = 4\ m $，
得 $ \frac{AC}{\sqrt{AC^2 + 4^2}} = \frac{3}{4} $，解得 $ AC = \sqrt{\frac{h^2}{n^2 - 1}} = \sqrt{\frac{16}{(16/9) - 1}} \approx 4.5\ m $。
(1) $ \frac{4}{3} $
(2) $ 4.5\ m $