《2025年资源库高中物理人教版》

例 18 一汽车以 $ 15 \, m/s $ 的速度在平直公路上匀速行驶,从某时刻开始刹车,加速度大小为 $ 2 \, m/s^2 $,汽车刹车后 $ 10 \, s $ 末车离开始刹车点多远.


【解析】汽车做匀减速运动,速度减为零时汽车将静止不动,设汽车实际运动时间为 $ t $,由题意可知：初速度、末速度和加速度分别为 $ v_{0} = 15 \, m/s $,$ v = 0 $,$ a = -2 \, m/s^2 $,汽车运动的时间 $ t = \frac{v - v_{0}}{a} = \frac{0 - 15}{-2} \, s = 7.5 \, s $,所以 $ 10 \, s $ 末汽车的位移为 $ 7.5 \, s $ 内的位移,即 $ x = v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2} = 56.25 \, m $.
【答案】$ 56.25 \, m $
【点拨】对于刹车类的匀减速直线运动,一定要注意当车的速度减为零后,车保持静止状态,在计算位移时,需要先求出刹车时间.

答案： $56.25\,m$

例 19 如图 1 - 2 - 19 所示,甲、乙两车同时由静止从 $ A $ 点出发,沿直线 $ AC $ 运动,甲车以加速度 $ a_{3} $ 做初速度为零的匀加速运动,到达 $ C $ 点时的速度为 $ v $,乙车以加速度 $ a_{1} $ 做初速度为零的匀加速运动,到达 $ B $ 点后做加速度为 $ a_{2} $ 的匀加速运动,到达 $ C $ 点时的速度也为 $ v $,已知 $ a_{1} \neq a_{2} \neq a_{3} $,则 ( )

A.甲、乙两车不可能同时由 $ A $ 点到达 $ C $ 点
B.甲车可能先由 $ A $ 点到达 $ C $ 点
C.乙车一定先由 $ A $ 点到达 $ C $ 点
D.若 $ a_{1} ＞ a_{3} $,则甲车一定先由 $ A $ 点到达 $ C $ 点
【解析】若 $ a_{1} ＞ a_{3} $,则 $ v - t $ 图像如图 1 - 2 - 20 所示,因为末速度相等,位移相等,即图线与时间轴所围成图形的面积相等,则 $ t_{乙} ＜ t_{甲} $；若 $ a_{3} ＞ a_{1} $,则 $ v - t $ 图像如图 1 - 2 - 21 所示,因为末速度相等,位移相等,即图线与时间轴所围成图形的面积相等,则 $ t_{乙} ＞ t_{甲} $；由上述分析可知,作不出位移相等、速度相等、时间又相等的 $ v - t $ 图线,所以甲、乙两车不可能同时由 $ A $ 点到达 $ C $ 点,故 A、B 正确,C、D 错误.
【答案】AB

答案： AB

例 20 汽车由甲地从静止出发,沿平直公路驶向乙地,汽车先以加速度 $ a_{1} $ 做匀加速运动,然后做匀速运动,最后以加速度 $ a_{2} $ 做匀减速运动,也可能不做匀速运动而直接做匀减速直线运动,到乙地恰好停止. 已知甲、乙两地相距为 $ s $,求汽车从甲地到乙地的最短时间和运行过程中的最大速度.
【解析】汽车的 $ v - t $ 图线如图 1 - 2 - 22 所示,不同图线与时间轴所围成图形的面积相等,即汽车从甲地到乙地的位移相同,可见中间无匀速过程时,所用时间最短. 设汽车匀加速运动的时间为 $ t_{1} $,最大速度为 $ v_{max} $,则匀减速运动的时间为 $ (t_{min} - t_{1}) $,由 $ v_{max} = a_{1}t_{1} = a_{2}(t_{min} - t_{1}) $,解得 $ t_{1} = \frac{a_{2}t_{min}}{a_{1} + a_{2}} $,则 $ v_{max} = \frac{a_{1}a_{2}t_{min}}{a_{1} + a_{2}} $.



又根据图线得位移 $ s = \frac{1}{2}v_{max}t_{min} = \frac{a_{1}a_{2}t_{min}^{2}}{2(a_{1} + a_{2})} $,可得 $ t_{min} = \sqrt{\frac{2s(a_{1} + a_{2})}{a_{1}a_{2}}} $,故 $ v_{max} = \sqrt{\frac{2a_{1}a_{2}s}{a_{1} + a_{2}}} $.
【答案】$\sqrt{\frac{2s(a_{1} + a_{2})}{a_{1}a_{2}}}$$\sqrt{\frac{2a_{1}a_{2}s}{a_{1} + a_{2}}}$

答案： 解：
要使汽车从甲地到乙地时间最短，运动过程应为：先以加速度$a_{1}$匀加速，后直接以加速度$a_{2}$匀减速，无匀速阶段（此时$v-t$图像为三角形，面积对应位移$s$）。
设匀加速时间为$t_{1}$，匀减速时间为$t_{2}$，总时间$t_{min}=t_{1}+t_{2}$，最大速度为$v_{max}$。
1. 速度关系：
匀加速阶段：$v_{max}=a_{1}t_{1}$
匀减速阶段：$v_{max}=a_{2}t_{2}$
联立得$a_{1}t_{1}=a_{2}t_{2}$，即$t_{2}=\frac{a_{1}}{a_{2}}t_{1}$，代入$t_{min}=t_{1}+t_{2}$，解得$t_{1}=\frac{a_{2}t_{min}}{a_{1}+a_{2}}$，$t_{2}=\frac{a_{1}t_{min}}{a_{1}+a_{2}}$。
2. 位移关系：
由$v-t$图像面积（位移）：$s=\frac{1}{2}v_{max}t_{min}$。
又$v_{max}=a_{1}t_{1}=\frac{a_{1}a_{2}t_{min}}{a_{1}+a_{2}}$，代入位移公式：
$s=\frac{1}{2}\cdot\frac{a_{1}a_{2}t_{min}}{a_{1}+a_{2}}\cdot t_{min}=\frac{a_{1}a_{2}t_{min}^{2}}{2(a_{1}+a_{2})}$
解得$t_{min}=\sqrt{\frac{2s(a_{1}+a_{2})}{a_{1}a_{2}}}$。
3. 最大速度：
将$t_{min}$代入$v_{max}=\frac{a_{1}a_{2}t_{min}}{a_{1}+a_{2}}$，得$v_{max}=\sqrt{\frac{2a_{1}a_{2}s}{a_{1}+a_{2}}}$。
结论：
最短时间$t_{min}=\sqrt{\frac{2s(a_{1}+a_{2})}{a_{1}a_{2}}}$，最大速度$v_{max}=\sqrt{\frac{2a_{1}a_{2}s}{a_{1}+a_{2}}}$。
$\boxed{t_{min}=\sqrt{\dfrac{2s(a_{1}+a_{2})}{a_{1}a_{2}}}}$
$\boxed{v_{max}=\sqrt{\dfrac{2a_{1}a_{2}s}{a_{1}+a_{2}}}}$

例21 [广西2024·3]让质量为1kg的石块$P_{1}$从足够高处自由下落,$P_{1}$在下落的第1s末速度大小为$v_{1}$,再将$P_{1}$和质量为2kg的石块绑为一个整体$P_{2}$,使$P_{2}$从原高度自由下落,$P_{2}$在下落的第1s末速度大小为$v_{2}$,g取10m/s^2,则(B)

A.$v_{1}= 5$m/s

B.$v_{1}= 10$m/s
C.$v_{2}= 15$m/s
D.$v_{2}= 30$m/s
【解析】自由落体运动的加速度与质量无关,根据$v= gt得v_{1}= 10$m/s,$v_{2}= 10$m/s,B正确。
【答案】B

答案： B