《2025年资源库高中物理人教版》

例 120 下列说法中正确的是( )

A.抛出的石子在空中的运动一定是曲线运动
B.让撑开的带有水的伞绕着伞柄旋转(伞柄竖直),伞边缘上的水滴离开伞后做曲线运动

C.水平飞行的飞机上跳出的跳伞运动员,在空中的运动是曲线运动
D.火箭发射时,最初点火上升阶段也是曲线运动
解析 判断物体是否做曲线运动,关键是看物体的速度方向和合外力方向是否在同一直线上. 由于抛出的石子初速度方向不确定,若初速度方向竖直向上或竖直向下,则做直线运动,故 A 错误；水滴离开伞后,其速度沿水平方向,但是其所受重力方向却是竖直向下的,所以水滴做曲线运动,故 B 正确；运动员跳出后的合力在竖直方向上,但是其速度方向却不在竖直方向上,所以运动员做曲线运动,故 C 正确；火箭发射时在最初点火上升阶段的速度竖直向上,火箭受到竖直向上的推力和竖直向下的重力,其合力竖直向上,即速度方向和合力方向相同,所以在该阶段火箭做直线运动,故 D 错误.
答案 BC
点拨 在判断物体运动的轨迹是直线还是曲线时,其依据是合力方向和初速度方向之间的关系.若两者在同一直线上,则物体做直线运动；若两者之间有一定夹角,则物体做曲线运动.

答案： BC

例 121 如图 1 - 5 - 14 所示,一块橡皮被系于 $ O $ 点的悬线拴住. 用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动,运动中始终保持悬线竖直,则橡皮的(A)
A.合运动是斜向上的匀速直线运动
B.合运动是斜向上的匀变速曲线运动
C.合速度的大小发生改变
D.橡皮的加速度发生改变
解析 根据题意可知,橡皮的运动可分解为沿水平方向与铅笔速度相同的匀速直线运动和沿竖直方向与铅笔移动速度大小相等的匀速直线运动,这两个直线运动的合运动是斜向上的匀速直线运动,故 A 正确,B 错误；橡皮的两个分运动均为匀速直线运动,则合速度的大小和方向均不变,加速度为 $ 0 $ 不变,故 C、D 错误.
答案 A

答案： A

例 122 [辽宁 2023·1]某同学在练习投篮,篮球在空中的运动轨迹如图 1 - 5 - 15 中虚线所示,篮球所受合力 $ F $ 的示意图可能正确的是( )
解析 在练习投篮时,篮球做曲线运动,篮球所受的合力 $ F $ 应指向曲线的凹向,A 正确.
答案 A

答案： A

例 123 已知某船在静水中的速度为 $ v_{1} = 4 \, m/s $,现让船渡过某条河,假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为 $ d = 100 \, m $,河水的流动速度为 $ v_{2} = 3 \, m/s $,方向与河岸平行 $ \left( \sin 37^{\circ} = \dfrac{3}{5}, \cos 37^{\circ} = \dfrac{4}{5} \right) $.
(1) 今欲使船以最短时间渡河,航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移有多大？
(2) 欲使船以最短位移渡河,航向又怎样？渡河所用时间是多少？
(3) 若水流速度 $ v_{2} = 5 \, m/s $,船在静水中速度 $ v_{1} = 4 \, m/s $ 不变,船能否垂直河岸渡河？欲使船渡过河的航程最短,航向怎样？最短航程是多少？
解析 船同时参与了两个运动：①船相对于水的运动,其速度就是船在静水中的速度 $ v_{1} = 4 \, m/s $,方向与船头的指向相同；②船随水漂流的运动,其速度等于河水流速 $ v_{2} = 3 \, m/s $,方向平行于河岸,与水流动的方向相同,指向下游. 船在河水中实际发生的运动(站在岸边的观察者看到的运动)就是由上述两个运动合成的.

(1) 根据运动的独立性和等时性,从题中已知河宽 $ d = 100 \, m $ 的条件出发分析知,当船在垂直河岸方向上的分速度 $ v_{\perp} $ 最大时,渡河所用时间最短,设船头斜向上游且与上游河岸夹角为 $ \alpha $,其合速度 $ v $ 与分速度 $ v_{1} $、$ v_{2} $ 的矢量关系如图 1 - 5 - 17 所示. 河水流速 $ v_{2} $ 平行于河岸,不影响船渡河的快慢. 船在垂直河岸方向上的分速度 $ v_{\perp} = v_{1} \sin \alpha $,则船渡河所用时间为 $ t = \dfrac{d}{v_{\perp}} = \dfrac{d}{v_{1} \sin \alpha} $.
由上式可知,当 $ \sin \alpha = 1 $,即 $ \alpha = 90^{\circ} $ 时,$ v_{\perp} $ 最大,$ t $ 最小,此时船身垂直于河岸,航向(船头方向)始终指向正对岸,如图 1 - 5 - 18 所示. 最短时间为
$ t_{\min} = \dfrac{d}{v_{1}} = \dfrac{100}{4} \, s = 25 \, s $.
船渡河时已在正对岸的下游 $ A $ 处,其顺水漂流的位移为
$ x = v_{2} t_{\min} = 3 × 25 \, m = 75 \, m $.
船的实际速度 $ v $ 的大小为
$ v = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} \, m/s = 5 \, m/s $.
船发生的位移的大小(线段 $ OA $ 的长度)为
$ s = v t_{\min} = 5 × 25 \, m = 125 \, m $.

(2) 在船速 $ v_{1} = 4 \, m/s $ 大于水速 $ v_{2} = 3 \, m/s $ 的情况下,欲使船以最短位移渡河,可使船头即航向斜向上游一定角度(设与上游河岸夹角为 $ \theta $),使船的实际速度(合速度 $ v $)的方向与河岸垂直指向正对岸,如图 1 - 5 - 19 所示. 这时船的实际位移大小等于河宽 $ d $,位移最短,航程最短,这时船垂直于河岸渡河.
由图可知 $ \cos \theta = \dfrac{v_{2}}{v_{1}} = \dfrac{3}{4} $.
即本题中欲使船以最短位移渡河,航向(船头指向)应斜向上游,与上游河岸夹角满足 $ \cos \theta = \dfrac{3}{4} $.
此种情况下,渡河所用时间为
$ t = \dfrac{d}{v'} = \dfrac{d}{\sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2}}} = \dfrac{100}{\sqrt{4^{2} - 3^{2}}} \, s \approx 38 \, s $.
(3) 当水的流速 $ v_{2} = 5 \, m/s $ 大于船在静水中速度 $ v_{1} = 4 \, m/s $ 时,船不能垂直河岸渡河,由图 1 - 5 - 20 可知,船的航程 $ s = \dfrac{d}{\cos \varphi} $,欲使船渡过河的航程最短,航行的方向与河岸的方向的夹角 $ \varphi $ 应为最小. $ \varphi $ 在 $ 0^{\circ} \sim 180^{\circ} $ 变化的过程中,合速度 $ v $ 的大小和方向都在发生着变化,但 $ v $ 与 $ v_{1} $、$ v_{2} $ 的矢量关系遵循平行四边形定则,利用直角三角形知识可求得


$ \cos \varphi = \dfrac{v_{1}}{v_{2}} = \dfrac{4}{5} $,$ \varphi = 37^{\circ} $,即航向斜向上游,与上游河岸夹角为 $ 37^{\circ} $.
其最短航程大小为

$ s_{\min} = \dfrac{d}{\cos \varphi} = \dfrac{d v_{2}}{v_{1}} = \dfrac{100 × 5}{4} \, m = 125 \, m $.
答案 见解析
点拨 本题是“运动的合成与分解”在船匀速渡河(一种理想情况)具体问题中的应用. 本题的限制条件是：河岸线相互平行,河宽为 $ d $,河水流速 $ v_{2} $ 恒定且平行于河岸指向下游,船相对静水的速度 $ v_{1} $ 大小恒定. 在以上的限制条件下,船匀速渡河的以下结论是普遍成立的：

(1) 航向(船头指向)垂直河岸航行时间最短. 则最短时间为 $ t_{\min} = \dfrac{d}{v_{1}} $.
(2) $ v_{1} ＞ v_{2} $ 时,船垂直于河岸渡河(运动轨迹垂直于河岸),航程最短(等于河宽),这时航向应斜向上游,与上游河岸夹角 $ \theta $ 满足 $ \cos \theta = \dfrac{v_{2}}{v_{1}} $.
(3) $ v_{1} ＜ v_{2} $ 时,船不能垂直于河岸渡河,当航向(船头指向)斜向上游,与上游河岸夹角 $ \theta $ 满足 $ \cos \theta = \dfrac{v_{1}}{v_{2}} $ 时,航程最短,且等于 $ \dfrac{d v_{2}}{v_{1}} $.


(4) 船渡河时间的长短与河水流速 $ v_{2} $ 的大小无关.
（1）航向：船头垂直河岸指向正对岸。最短时间：25s。到达对岸位置：在正对岸下游75m处。船发生的位移大小：125m。
（2）航向：斜向上游，与上游河岸夹角满足cosθ=3/4。渡河所用时间：约38s。
（3）船能否垂直河岸渡河：不能。欲使船渡过河的航程最短，航向：斜向上游，与上游河岸夹角为37°。最短航程：125m。

答案： （1）
航向：船头垂直河岸指向正对岸。
最短时间：$ t_{min}=\frac{d}{v_1}=\frac{100}{4}\,s=25\,s $。
到达对岸位置：在正对岸下游$ x=v_2t_{min}=3×25\,m=75\,m $处。
船的位移大小：$ s=\sqrt{d^2+x^2}=\sqrt{100^2+75^2}\,m=125\,m $。
（2）
航向：斜向上游，与上游河岸夹角$ \theta $满足$ \cos\theta=\frac{v_2}{v_1}=\frac{3}{4} $。
渡河时间：$ t=\frac{d}{\sqrt{v_1^2-v_2^2}}=\frac{100}{\sqrt{4^2-3^2}}\,s\approx38\,s $。
（3）
能否垂直渡河：不能。
最短航程航向：斜向上游，与上游河岸夹角$ 37° $（$ \cos37°=\frac{4}{5} $）。
最短航程：$ s_{min}=\frac{dv_2}{v_1}=\frac{100×5}{4}\,m=125\,m $。