《2025年资源库高中物理人教版》

例212 如图1-8-31所示,质量都为$m的A$、$B$两金属环用细线相连后,分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上.细线长$L = 0.4m$,现将细线拉直后使$A和B$从同一高度上由静止释放,求当运动到细线与水平方向夹角为$30^{\circ}$时,$A和B$的速度分别为多大($g取10m/s^{2}$).


【解析】将$A$释放后,在$A$、$B$运动过程中,细线拉力对$B做正功而对A$做负功,所以$B的机械能增加而A$的机械能减少,但把$A$、$B$看成一个系统,两环机械能之和是保持不变的.设当两环运动到细线与水平方向夹角为$30^{\circ}$时,$A和B的速度大小分别为v_{A}$、$v_{B}$,将$v_{A}$、$v_{B}$沿细线方向和垂直细线方向分解,如图1-8-32所示,由分析可知,它们在沿细线方向上的分速度$v_{1}和v_{3}$相等,所以有$v_{A}\sin\theta = v_{B}\cos\theta$ ①,在这一过程中$A下降的高度为L\sin\theta$,因为两环组成的系统机械能守恒,则由机械能守恒定律可得$mgL\sin\theta=\frac{1}{2}mv_{A}^{2}+\frac{1}{2}mv_{B}^{2}$ ②,联立①②式并代入数据得$v_{A}= \sqrt{3}m/s$,$v_{B}= 1m/s$。
【答案】$\sqrt{3}m/s$ $1m/s$
【点拨】求解本题的关键是知道两环组成的系统机械能守恒.注意寻找两环的速度关系,$A$、$B$两环通过细线构成连接体,进行速度分解时要注意二者沿细杆方向上的运动是实际的运动(合运动),只有实际运动的速度才可以分解,并且二者的运动方向都不在细线方向上,所以二者的速度都需要分解,根据二者沿细线方向上的分速度大小相等从而找到它们的速度关系.

答案： 解答过程：
一、确定系统机械能守恒
A、B两环组成的系统中，细杆光滑无摩擦，只有重力对A做功，细线拉力对A、B做功的代数和为零，故系统机械能守恒。
二、分析A下降的高度
初始时细线拉直，A、B在同一高度静止。当细线与水平方向夹角为θ=30°时，A在竖直杆上下降的高度为：
$ h = L \sin\theta $
其中细线长$ L = 0.4\,m $，$ \sin30° = 0.5 $，代入得：
$ h = 0.4 × 0.5 = 0.2\,m $
三、速度关系分析
因细线不可伸长，A、B沿细线方向的分速度相等。
A的速度$ v_A $（竖直向下）沿细线方向的分速度为：$ v_A \sin\theta $
B的速度$ v_B $（水平方向）沿细线方向的分速度为：$ v_B \cos\theta $
由分速度相等得：
$ v_A \sin\theta = v_B \cos\theta \quad ① $
四、机械能守恒方程
系统减少的重力势能等于增加的动能。A下降减少的重力势能为$ mgh $，转化为A、B的动能：
$ mgh = \frac{1}{2}mv_A^2 + \frac{1}{2}mv_B^2 \quad ② $
五、联立方程求解
将$ h = 0.2\,m $、$ g = 10\,m/s^2 $、$ \theta = 30° $代入②式：
$ mg × 0.2 = \frac{1}{2}m(v_A^2 + v_B^2) $
消去$ m $并化简：
$ 10 × 0.2 = \frac{1}{2}(v_A^2 + v_B^2) \implies v_A^2 + v_B^2 = 4 \quad ③ $
由①式，$ \sin30° = 0.5 $，$ \cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $，得：
$ v_A × 0.5 = v_B × \frac{\sqrt{3}}{2} \implies v_A = \sqrt{3}v_B \quad ④ $
将④代入③：
$ (\sqrt{3}v_B)^2 + v_B^2 = 4 \implies 3v_B^2 + v_B^2 = 4 \implies v_B^2 = 1 \implies v_B = 1\,m/s $
代入④得：
$ v_A = \sqrt{3} × 1 = \sqrt{3}\,m/s $
答案
A的速度为$ \sqrt{3}\,m/s $，B的速度为$ 1\,m/s $。
$ \boxed{v_A = \sqrt{3}\,m/s,\ v_B = 1\,m/s} $

例 213 [全国新课标 2023·15] 无风时,雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落. 一质量为 $ m $ 的雨滴在地面附近以速率 $ v $ 下落高度 $ h $ 的过程中,克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为 $ g $)( )

A.$ 0 $

B.$ mgh $
C.$ \dfrac{1}{2}mv^{2}-mgh $
D.$ \dfrac{1}{2}mv^{2}+mgh $
【解析】无风时,雨滴受空气阻力和重力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落,速度不变,初、末状态动能不变,由动能定理可得 $ mgh - W_{f} = 0 $,可得克服空气阻力做的功 $ W_{f} = mgh $,B 正确.
【答案】B
【多解】雨滴在地面附近做匀速运动,受力平衡,则有 $ f = mg $,下落高度 $ h $ 过程中,克服空气阻力做的功 $ W_{f} = fh $,解得 $ W_{f} = mgh $.

答案： B

例 214 如图 1 - 8 - 33 所示,质量为 $ M $ 的木块放在光滑的水平面上,质量为 $ m $ 的子弹以速度 $ v_{0} $ 沿水平方向射中木块,并最终留在木块中与木块一起以速度 $ v $ 运动. 已知当子弹相对木块静止时,木块前进的距离为 $ l $,子弹进入木块的深度为 $ d $. 若木块对子弹的阻力 $ F_{f} $ 视为恒力,则下列关系式中正确的是(ACD)
A. $ F_{f}l = \dfrac{1}{2}Mv^{2} $
B. $ F_{f}d = \dfrac{1}{2}Mv^{2} $
C. $ F_{f}d = \dfrac{1}{2}mv_{0}^{2} - \dfrac{1}{2}(M + m)v^{2} $
D. $ F_{f}(l + d) = \dfrac{1}{2}mv_{0}^{2} - \dfrac{1}{2}mv^{2} $
【解析】从子弹接触木块开始到二者一起以速度 $ v $ 运动的运动过程示意图如图 1 - 8 - 34 所示,从图中不难看出,当木块前进的距离为 $ l $、子弹进入木块的深度为 $ d $ 时,子弹相对于水平面发生的位移为 $ l + d $,由牛顿第三定律可知,子弹对木块的作用力大小也为 $ F_{f} $.

子弹对木块的作用力对木块做正功,由动能定理得 $ F_{f}l = \dfrac{1}{2}Mv^{2} $ ①
木块对子弹的作用力对子弹做负功,由动能定理得 $ -F_{f}(l + d) = \dfrac{1}{2}mv^{2} - \dfrac{1}{2}mv_{0}^{2} $ ②
由①②得 $ F_{f}d = \dfrac{1}{2}mv_{0}^{2} - \dfrac{1}{2}(M + m)v^{2} $ ③
所以,本题正确选项为 A、C、D.
【答案】ACD
【点拨】求解本题时要注意三个方程的区别,方程①②反映的是动能定理,方程③反映的是能量守恒定律. 利用动能定理 $ Fl = \Delta E_{k} $ 时要注意,$ F $ 是物体受到的合外力,$ l $ 是物体的对地位移. 方程③的等式右边是系统机械能的减少量,左边是滑动摩擦力与相对位移的乘积,根据能量守恒定律,系统机械能的减少量等于系统内能的增加量,所以滑动摩擦力与相对位移的乘积就等于系统内能的增加量.

答案： ACD