《2025年资源库高中物理人教版》

例208 如图1-8-26所示,在水平台面上的$A$点,一个质量为$m的物体以初速度v_{0}$被抛出,不计空气阻力,重力加速度为$g$,求它到达距抛出点下方高度为$h处的B$点时速度的大小.
【解析】物体抛出后运动过程中只受重力作用,机械能守恒.

解法一：选地面为参考平面,设水平台面距地面高度为$H$,则$mgH+\frac{1}{2}mv_{0}^{2}= mg(H - h)+\frac{1}{2}mv_{B}^{2}$,解得$v_{B}= \sqrt{v_{0}^{2}+2gh}$。
解法二：选水平台面为参考平面,则$\frac{1}{2}mv_{0}^{2}= -mgh+\frac{1}{2}mv_{B}^{2}$,解得$v_{B}= \sqrt{v_{0}^{2}+2gh}$。
解法三：不选参考平面,利用$\Delta E_{k}= -\Delta E_{p}或\Delta E_{p}= -\Delta E_{k}$,即动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量,则$\frac{1}{2}mv_{B}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}= mgh$,解得$v_{B}= \sqrt{v_{0}^{2}+2gh}$。
【答案】$\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}$
【点拨】在利用机械能守恒定律表达式$E_{1}= E_{2}$解题时,由于重力势能的相对性,必须先选取参考平面,然后解题.

答案： $\sqrt{v_0^2 + 2gh}$。

例209 如图1-8-27所示,总长为$L$的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质定滑轮,开始时下端$A$、$B$相平齐,当略有扰动时其一端下落.重力加速度为$g$,则当铁链刚脱离滑轮的瞬间,铁链的速度为多大？


【解析】铁链在运动过程中,只有重力做功,机械能守恒.
解法一(利用$E_{2}= E_{1}$求解)：设铁链的总质量为$m$,选取初始位置铁链的下端$A$、$B$所在的水平面为参考平面,则铁链初状态的机械能为$mg\cdot\frac{L}{4}$,末状态的机械能为$\frac{1}{2}mv^{2}$,根据机械能守恒定律有$mg\cdot\frac{L}{4}= \frac{1}{2}mv^{2}$,解得铁链刚脱离滑轮瞬间的速度大小为$v= \frac{1}{2}\sqrt{2gL}$。
解法二(利用$\Delta E_{k}= -\Delta E_{p}$求解)：如图1-8-28所示,铁链刚离开滑轮时,等效于原来的$BB'部分移到了AA'$的位置,这部分重力势能的减少量转化为整条铁链的动能,重力势能的减少量为$-\Delta E_{p}= \frac{1}{2}mg\cdot\frac{L}{2}$,动能的增加量为$\Delta E_{k}= \frac{1}{2}mv^{2}$,根据机械能守恒定律有$\frac{1}{2}mg\cdot\frac{L}{2}= \frac{1}{2}mv^{2}$,解得铁链刚脱离滑轮瞬间的速度大小为$v= \frac{1}{2}\sqrt{2gL}$。

【答案】$\frac{1}{2}\sqrt{2gL}$
【点拨】对绳索、链条之类的物体,其重心位置并不是固定不变的,能否确定重心的位置,是解决该类问题的关键.一般情况下常分段考虑各部分的势能,并用各部分势能之和作为系统总的重力势能.至于参考平面,可以任意选取,但以系统初、末的重力势能之一为零为宜,这样便于计算.

答案： 设铁链总质量为$m$，总长为$L$。铁链光滑，运动过程中只有重力做功，机械能守恒。
步骤1：确定初末状态重心位置
初始状态：铁链对称跨过滑轮，每侧长度$\frac{L}{2}$，每侧重心在其几何中心，离滑轮距离$\frac{L}{4}$（下方）。
末状态：铁链刚脱离滑轮，整体竖直下垂，重心在几何中心，离滑轮距离$\frac{L}{2}$（下方）。
步骤2：机械能守恒方程
以滑轮所在平面为参考平面，初始重力势能$E_{p1}=2×\left[\frac{m}{2}g×\left(-\frac{L}{4}\right)\right]=-\frac{mgL}{4}$，末状态重力势能$E_{p2}=mg×\left(-\frac{L}{2}\right)$；初始动能$E_{k1}=0$，末动能$E_{k2}=\frac{1}{2}mv^2$。
由机械能守恒定律：$E_{p1}+E_{k1}=E_{p2}+E_{k2}$，即：
$-\frac{mgL}{4}+0=-\frac{mgL}{2}+\frac{1}{2}mv^2$
步骤3：求解速度
移项化简：$\frac{mgL}{2}-\frac{mgL}{4}=\frac{1}{2}mv^2$，得$\frac{mgL}{4}=\frac{1}{2}mv^2$，解得：
$v=\frac{1}{2}\sqrt{2gL}$
$\frac{1}{2}\sqrt{2gL}$