《2025年资源库高中物理人教版》

例344 [全国高考]某游乐园入口旁有一喷泉,喷出的水柱将一质量为$M$的卡通玩具稳定地悬停在空中. 为计算方便起见,假设水柱从横截面积为$S的喷口持续以速度v_0$竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于$S$)；水柱冲击到玩具底板后,在竖直方向水的速度变为零,在水平方向朝四周均匀散开. 忽略空气阻力. 已知水的密度为$\rho$,重力加速度大小为$g$. 求：
(i) 喷泉单位时间内喷出的水的质量；
(ii) 玩具在空中悬停时,其底面相对于喷口的高度.
【解析】(i) 设$\Delta t$时间内,从喷口喷出的水的体积为$\Delta V$,质量为$\Delta m$,则
$\Delta m = \rho\Delta V$ ①
$\Delta V = v_0S\Delta t$ ②
由①②式得,单位时间内从喷口喷出的水的质量为
$\frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho v_0S$ ③
(ii) 设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为$h$,水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为$v$. 对于$\Delta t$时间内喷出的水,由能量守恒得
$\frac{1}{2}\Delta m\cdot v^2 + \Delta m\cdot gh = \frac{1}{2}\Delta m\cdot v_0^2$ ④
在$h$高度处,$\Delta t$时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为
$\Delta p = \Delta m\cdot v$ ⑤
设水对玩具的作用力的大小为$F$,根据动量定理有
$F\Delta t = \Delta p$ ⑥
由于玩具在空中悬停,由力的平衡条件得
$F = Mg$ ⑦
联立③④⑤⑥⑦式得
$h = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{M^2g}{2\rho^2v_0^2S^2}$ ⑧
【答案】(i) $\rho v_0S$ (ii) $\frac{v_0^2}{2g} - \frac{M^2g}{2\rho^2v_0^2S^2}$

答案： 【答题卡】
(i)
设$\Delta t$时间内，从喷口喷出的水的体积为$\Delta V$，质量为$\Delta m$，
$\Delta m = \rho \Delta V$，
$\Delta V = v_0 S \Delta t$，
单位时间内喷出的水的质量为：
$\frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho v_0 S$。
(ii)
设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为$h$，水到达玩具底面时的速度为$v$，
由能量守恒：
$\frac{1}{2} \Delta m \cdot v^2 + \Delta m \cdot g h = \frac{1}{2} \Delta m \cdot v_0^2$，
$\Delta t$时间内水的动量变化量为：
$\Delta p = \Delta m \cdot v$，
设水对玩具的作用力为$F$，由动量定理：
$F \Delta t = \Delta p$，
玩具悬停时，由平衡条件：
$F = M g$，
联立解得：
$h = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{M^2 g}{2 \rho^2 v_0^2 S^2}$。
【答案】
(i) $\rho v_0 S$，
(ii) $\frac{v_0^2}{2g} - \frac{M^2 g}{2 \rho^2 v_0^2 S^2}$。

例345 [湖南新高考]物体的运动状态可用位置$x和动量p$描述,称为相,对应$p - x$图像中的一个点. 物体运动状态的变化可用$p - x$图像中的一条曲线来描述,称为相轨迹. 假如一质点沿$x$轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动,则对应的相轨迹可能是(D)

【解析】因为质点做初速度为零的匀加速直线运动,根据运动学公式可得$v^2 = 2ax$,质点的动量为$p = mv$,整理可得$p = m\sqrt{2ax}$,其中质量$m$为定值,又因为质点的加速度$a$恒定,故 D 正确.
【答案】D

答案： D

例346 如图1-14-13所示,在质量为M的小车上挂有一单摆,摆球的质量为m₀,小车和单摆以恒定的速度v沿光滑水平地面运动,与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞,碰撞的时间极短,在碰撞过程中,下列哪些情况是可能发生的(BC)

A.小车、木块、摆球的速度都发生变化,分别变为$v_1、$$v_2、$$v_3,$满足$(M + m₀)v = Mv_1 + mv_2 + m₀v_3$
B.摆球的速度不变,小车和木块的速度变为$v_1$和$v_2,$满足$Mv = Mv_1 + mv_2$
C.摆球的速度不变,小车和木块的速度都变为$v_1,$满足$Mv = (M + m)v_1$
D.小车和摆球的速度都变为$v_1,$木块的速度变为$v_2,$满足$(M + m₀)v = (M + m₀)v_1 + mv_2$

【解析】在小车与木块直接碰撞的瞬间,彼此作用力很大,所以它们的速度在瞬间发生改变,在此期间它们的位移可看成零,而摆球并没有直接与木块产生力的作用,因为在它与小车沿水平方向共同匀速运动时,摆线沿竖直方向,因此摆线的拉力不能改变摆球速度的大小,即摆球的速度不变,而小车和木块碰撞后,可能以各自不同的速度继续向前运动,也可能以共同速度(完全非弹性碰撞)继续向前运动,故B、C正确。
【答案】BC

答案： BC