《2025年资源库高中物理人教版》

例22 如图1-2-23所示,悬挂的直杆AB长为a,在B端下方距离为h处,有一长为b的无底圆筒CD,已知重力加速度为g,若将悬线剪断,求：

(1)直杆下端B穿过圆筒的时间。
(2)整个直杆AB穿过圆筒的时间。
【解析】(1)直杆下端B穿过圆筒所用时间为B端由C点运动至D点所用的时间。
在自由落体运动中有$H= \frac{1}{2}gt^{2}$,得$t= \sqrt{\frac{2H}{g}}$。
B端由静止下落到C点所用的时间$t_{1}= \sqrt{\frac{2h}{g}}$,B端由静止下落到D点所用的时间$t_{2}= \sqrt{\frac{2(h+b)}{g}}$,故直杆下端B穿过圆筒的时间$\Delta t_{1}= t_{2}-t_{1}= \sqrt{\frac{2(h+b)}{g}}-\sqrt{\frac{2h}{g}}$。
(2)直杆下端B下落到C点所用的时间$t_{1}= \sqrt{\frac{2h}{g}}$,直杆上端A下落到D点所用的时间$t_{3}= \sqrt{\frac{2(a+h+b)}{g}}$,故整个直杆AB穿过圆筒的时间$\Delta t_{2}= t_{3}-t_{1}= \sqrt{\frac{2(a+h+b)}{g}}-\sqrt{\frac{2h}{g}}$。
【答案】(1)$\sqrt{\frac{2(h+b)}{g}}-\sqrt{\frac{2h}{g}}$ (2)$\sqrt{\frac{2(a+h+b)}{g}}-\sqrt{\frac{2h}{g}}$

答案：
(1) 设直杆下端$B$到达圆筒上端$C$的时间为$t_1$，到达圆筒下端$D$的时间为$t_2$。
根据自由落体运动公式$h = \frac{1}{2}gt^2$，可得：
$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$，
$t_2 = \sqrt{\frac{2(h + b)}{g}}$。
直杆下端$B$穿过圆筒的时间为：
$\Delta t_1 = t_2 - t_1 = \sqrt{\frac{2(h + b)}{g}} - \sqrt{\frac{2h}{g}}$。
(2) 设直杆上端$A$到达圆筒下端$D$的时间为$t_3$。
根据自由落体运动公式，可得：
$t_3 = \sqrt{\frac{2(a + h + b)}{g}}$。
直杆下端$B$到达圆筒上端$C$的时间为$t_1$：
$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$。
整个直杆$AB$穿过圆筒的时间为：
$\Delta t_2 = t_3 - t_1 = \sqrt{\frac{2(a + h + b)}{g}} - \sqrt{\frac{2h}{g}}$。
故答案为：（1）$\sqrt{\frac{2(h + b)}{g}} - \sqrt{\frac{2h}{g}}$；（2）$\sqrt{\frac{2(a + h + b)}{g}} - \sqrt{\frac{2h}{g}}$。

例 23 气球以 $ 1.25 \, m/s^2 $ 的加速度由静止开始竖直上升,离地 $ 30 \, s $ 后,从气球上掉出一物体,不计空气阻力,$ g $ 取 $ 10 \, m/s^2 $,则物体到达地面所需时间为(D)
A. $ 7 \, s $
B. $ 8 \, s $
C. $ 12 \, s $
D. $ 15 \, s $
【解析】先求 $ 30 \, s $ 后气球的速度 $ v $ 及高度 $ h_1 $。如图 1 - 2 - 24。
速度 $ v = at = 1.25×30 \, m/s = 37.5 \, m/s $,
高度 $ h_1 = \dfrac{1}{2}at^2 = \dfrac{1}{2}×1.25×30^2 \, m = 562.5 \, m $。
解法一(整体法)：
物体刚掉出时,具有竖直向上的初速度,大小为 $ 37.5 \, m/s $,距地面的高度为 $ 562.5 \, m $,
物体此时做竖直上抛运动,取竖直向上为正方向,则可以直接代入公式 $ -h_1 = vt' - \dfrac{1}{2}gt'^2 $,解得 $ t' = 15 \, s $。
解法二(分段法)：
上升阶段,物体上升的时间 $ t_1 = \dfrac{v}{g} = 3.75 \, s $,上升的最大高度 $ H = \dfrac{v^2}{2g} = \dfrac{1125}{16} \, m $,
下降阶段,下降过程物体做自由落体运动,则有下降时间 $ t_2 = \sqrt{\dfrac{2(h_1 + H)}{g}} $,
代入数据得 $ t_2 = 11.25 \, s $,
所以物体到达地面所需的总时间为 $ t' = t_1 + t_2 = 15 \, s $。
【答案】D
【点拨】(1)研究竖直上抛运动时,要灵活使用分段法和整体法,同时要注意各物理量的正负。
(2)画好过程示意图是解决运动学问题的关键。同时要正确判断物体的运动情况。

答案： D

例 24 一个从地面竖直上抛的物体,两次经过一个较低点 $ A $ 的时间间隔是 $ T_A $,两次经过一个较高点 $ B $ 的时间间隔是 $ T_B $,重力加速度为 $ g $,则 $ A $、$ B $ 两点之间的距离为(A)
A.$ \dfrac{1}{8}g(T_A^2 - T_B^2) $
B.$ \dfrac{1}{4}g(T_A^2 - T_B^2) $
C.$ \dfrac{1}{2}g(T_A^2 - T_B^2) $
D.$ \dfrac{1}{2}g(T_A - T_B) $
【解析】从竖直上抛的最高点到点 $ A $ 的时间 $ t_A = \dfrac{T_A}{2} $,
从竖直上抛的最高点到点 $ B $ 的时间 $ t_B = \dfrac{T_B}{2} $,则 $ A $、$ B $ 两点间的距离 $ x = \dfrac{1}{2}gt_A^2 - \dfrac{1}{2}gt_B^2 = \dfrac{1}{8}g(T_A^2 - T_B^2) $。
【答案】A

答案： A

例 26 如图 1 - 2 - 25 所示,长度为 $ 0.65 \, m $ 的圆筒竖直放在水平地面上,在圆筒正上方距其上端 $ 1.80 \, m $ 处有一小球(可视为质点,能无摩擦地穿过圆筒)。在由静止释放小球的同时,将圆筒竖直向上抛出,在圆筒落地前的瞬间,小球在圆筒内运动而没有落地,则圆筒上抛的速度大小可能为(空气阻力不计,取 $ g = 10 \, m/s^2 $)(AB)
A.$ 3.1 \, m/s $
B.$ 3.3 \, m/s $
C.$ 3.6 \, m/s $
D.$ 4 \, m/s $
【解析】由自由落体公式可得,小球落地的时间为 $ t_1 = \sqrt{\dfrac{2(l + h)}{g}} = \sqrt{\dfrac{2×(0.65 + 1.80)}{10}} \, s = 0.7 \, s $,若此时圆筒刚好落地,则圆筒抛出的速度为 $ v_1 = g·\dfrac{t_1}{2} = 3.5 \, m/s $。若圆筒落地时,小球刚进入圆筒,则此时小球的下落时间为 $ t_2 = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2×1.8}{10}} \, s = 0.6 \, s $,对应的圆筒抛出的速度为 $ v_2 = g\dfrac{t_2}{2} = 3 \, m/s $,则圆筒上抛的速度范围为 $ 3 ～ 3.5 \, m/s $。故 A、B 正确。
【答案】AB

答案： AB