《2025年资源库高中物理人教版》

例 377 如图 1 - 15 - 14 所示,一轻质弹簧的上端固定在倾角为 $30^{\circ}$ 的光滑斜面顶部,下端拴接小物块 $A$,$A$ 通过一段不可伸长的细线与小物块 $B$ 相连,系统静止时 $B$ 恰位于斜面的中点. 将细线烧断,发现当 $B$ 运动到斜面底端时,$A$ 刚好第三次到达最高点. 已知 $B$ 的质量 $m = 2$ kg,弹簧的劲度系数 $k = 100$ N/m,斜面长为 $L = 5$ m,且始终保持静止状态,重力加速度 $g$ 取 $10$ m/s^2.
(1) 试证明小物块 $A$ 做简谐运动；
(2) 求小物块 $A$ 振动的振幅和周期.
【解析】 (1) 烧断细线后,物块 $A$ 向上运动,物块 $A$ 受力平衡时,设弹簧伸长量为 $x_{0}$,有 $kx_{0}-m_{A}g\cdot\sin30^{\circ}=0$,选物块 $A$ 的平衡位置为坐标原点,沿斜面向下为正方向建立坐标轴,用 $x$ 表示物块 $A$ 相对于平衡位置的位移,物块 $A$ 运动到平衡位置下方 $x$ 位置时,物块 $A$ 所受的合力为 $F_{合}= m_{A}g\sin30^{\circ}-k(x + x_{0})= -kx$,合力让物块 $A$ 做简谐运动.
(2) 细线未断前,$A$、$B$ 两物块保持静止,设此时弹簧伸长量为 $x_{1}$,有 $kx_{1}-(m_{A}+m)g\sin30^{\circ}=0$,则有 $x_{1}= \frac{(m_{A}+m)g\sin30^{\circ}}{k}$,烧断细线后,物块 $A$ 从此位置开始运动,此位置到平衡位置的距离即为振幅 $A_{0}$,则有 $A_{0}= x_{1}-x_{0}= \frac{mg\sin30^{\circ}}{k}= 0.1$ m,烧断细线后,$B$ 物块向下做匀加速运动,其加速度 $a = g\sin30^{\circ}=5$ m/s^2,设 $B$ 物块到达斜面底端所用的时间为 $t$,则 $\frac{L}{2}= \frac{1}{2}at^{2}$,解得 $t = 1$ s,因 $A$ 物块在经过 $t$ 时间后,刚好第三次到达最高点,则 $t = 2.5T$,故 $T = 0.4$ s.
【答案】 (1) 见解析 (2) $0.1$ m $0.4$ s

答案：
(1) 烧断细线后，对物块$A$进行受力分析。设$A$的质量为$m_A$，当$A$受力平衡时，弹簧伸长量为$x_0$，有$kx_0 = m_A g \sin30°$。以平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，当$A$相对于平衡位置的位移为$x$时，弹簧总伸长量为$x_0 + x$，此时$A$所受合力$F_{合} = m_A g \sin30° - k(x_0 + x)$。将$kx_0 = m_A g \sin30°$代入，得$F_{合} = -kx$，满足简谐运动回复力条件，故$A$做简谐运动。
(2) ① 振幅：细线未断前，系统静止，弹簧伸长量$x_1$满足$kx_1 = (m_A + m)g \sin30°$，即$x_1 = \frac{(m_A + m)g \sin30°}{k}$。$A$的平衡位置伸长量$x_0 = \frac{m_A g \sin30°}{k}$，振幅$A_0 = x_1 - x_0 = \frac{mg \sin30°}{k} = \frac{2 × 10 × 0.5}{100} = 0.1\ m$。
② 周期：$B$沿斜面下滑，加速度$a = g \sin30° = 5\ m/s^2$，位移$\frac{L}{2} = 2.5\ m$。由$\frac{1}{2}at^2 = \frac{L}{2}$，得$t = \sqrt{\frac{L}{a}} = \sqrt{\frac{5}{5}} = 1\ s$。$A$第三次到达最高点对应$t = 2.5T$，故$T = \frac{t}{2.5} = 0.4\ s$。
答案
(1) 见解析
(2) 振幅$0.1\ m$，周期$0.4\ s$

例 378 一弹簧振子做简谐运动,周期为 $T$,则 (C)
A.若 $t$ 时刻和 $(t+\Delta t)$ 时刻振子运动的位移大小相等、方向相同,则 $\Delta t$ 一定等于 $T$ 的整数倍
B.若 $t$ 时刻和 $(t+\Delta t)$ 时刻振子运动的速度大小相等,方向相反,则 $\Delta t$ 一定等于 $\frac{T}{2}$ 的整数倍
C.若 $\Delta t = T$,则在 $t$ 时刻和 $(t-\Delta t)$ 时刻振子运动的加速度一定相等

D.若 $\Delta t= \frac{T}{2}$,则在 $t$ 时刻和 $(t+\Delta t)$ 时刻弹簧的长度一定相等
【解析】 设弹簧振子的振动图像如图 1 - 15 - 15 所示. $B$、$C$ 两点的位移大小相等、方向相同,但 $B$、$C$ 两点的时间间隔 $\Delta t\neq nT(n = 1,2,3,…)$,A 错误；$B$、$C$ 两点的速度大小相等、方向相反,但 $\Delta t\neq n\frac{T}{2}(n = 1,2,3,…)$,B 错误；因为 $A$、$D$ 两点的时间间隔 $\Delta t = T$,$A$、$D$ 两点的位移大小和方向均相同,所以 $A$、$D$ 两点的加速度一定相等,C 正确；$A$、$C$ 两点的时间间隔 $\Delta t= \frac{T}{2}$,$A$、$C$ 两点的位移大小相等、方向相反,弹簧的长度不相等,D 错误.

【答案】 $C$

答案： C

例379 如图1-15-16所示,水平桌面上的木质框架质量为M,悬挂在框架上的轻质弹簧劲度系数为k,铁球质量为m。用手向下拉一小段距离后释放铁球,铁球便沿竖直方向做简谐运动,重力加速度为g,则(BC)

A.弹簧处于原长时的位置是铁球做简谐运动的平衡位置
B.在铁球向平衡位置运动的过程中,铁球的位移、回复力、加速度都逐渐减小,速度增大
C.若铁球的振动周期恰好等于以铁球平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆的周期,则该铁球的周期$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$





D.若弹簧振动过程振幅可调,当框架对桌面压力为零的瞬间,轻弹簧处于压缩状态,且压缩量为$\dfrac{mg}{k}$
【解析】在该题情况下,平衡位置是振动系统不振动时,振子处于平衡状态时所处的位置,铁球静止时其所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等,弹簧有伸长量,选项A错误；振动中的位移指由平衡位置指向振动物体所在位置的有向线段,因而铁球向平衡位置运动时位移逐渐减小,而回复力的大小与位移的大小成正比,故回复力也减小,由牛顿第二定律得$a = \dfrac{F_{回}}{m}$,则加速度也减小,铁球向着平衡位置运动时,回复力与速度方向一致,故铁球的速度逐渐增大,选项B正确；单摆周期公式$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$,根据平衡条件有$kL = mg$,联立解得$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$,选项C正确；当框架对桌面压力为零瞬间,弹簧对框架向上的作用力等于框架重力Mg,则轻弹簧处于压缩状态,弹力$F = Mg = kx$,解得弹簧的压缩量为$x = \dfrac{Mg}{k}$,选项D错误。
【答案】BC

答案： BC

例380 如图1-15-17所示,质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上,B与弹簧相连,它们一起在光滑水平面上做简谐运动,振动过程中A、B之间无相对运动。设弹簧的劲度系数为k,当物体离开平衡位置的位移为x时,A、B间摩擦力的大小等于( )

A.0
B.kx
C.$\dfrac{m}{M}kx$
D.$\dfrac{m}{m + M}kx$
【解析】当物体离开平衡位置的位移为x时,振动物体A、B的加速度大小为$a = \dfrac{F}{m + M} = \dfrac{kx}{m + M}$,由于物体A的加速度是由静摩擦力提供的,所以$F_{f} = ma = m\cdot\dfrac{kx}{m + M}$,故选D。
【答案】D

答案： D