《2025年资源库高中物理人教版》

例361 [湖南新高考]
如图 1 - 14 - 25(a),质量为 $m$ 的篮球从离地 $H$ 高度处由静止下落,与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地 $h$ 的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的 $\lambda$ 倍($\lambda$ 为常数且 $0 ＜ \lambda ＜ \dfrac{H - h}{H + h}$),且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同,重力加速度大小为 $g$。

(1) 求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比；
(2) 若篮球反弹至最高处 $h$ 时,运动员对篮球施加一个向下的压力 $F$,使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至 $h$ 的高度处,力 $F$ 随高度 $y$ 的变化如图 1 - 14 - 25(b) 所示,其中 $h_0$ 已知,求 $F_0$ 的大小；
(3) 篮球从 $H$ 高度处由静止下落后,每次反弹至最高点时,运动员拍击一次篮球(拍击时间极短),瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量 $I$,经过 $N$ 次拍击后篮球恰好反弹至 $H$ 高度处,求冲量 $I$ 的大小。

(1) $\sqrt{\dfrac{(1 + \lambda)h}{(1 - \lambda)H}}$
(2) $\dfrac{2(1 - \lambda)mg(H - h)}{h - h_0}$
(3) $m\sqrt{\dfrac{2g(H - h)(H^{N + 1} - h^{N + 1})(1 - \lambda)}{(H^N - h^N)h}}$

答案：
(1) 设篮球下落刚与地面接触时的速率为$v_1$，弹起刚离开地面时的速率为$v_2$，由动能定理得：
下落过程：$(mg - \lambda mg)H = \frac{1}{2}mv_1^2 - 0$，解得$v_1 = \sqrt{2(1 - \lambda)gH}$。
上弹过程：$-(mg + \lambda mg)h = 0 - \frac{1}{2}mv_2^2$，解得$v_2 = \sqrt{2(1 + \lambda)gh}$。
所以碰后速率与碰前速率之比为：$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{(1 + \lambda)h}{(1 - \lambda)H}}$。
(2) 如图$b$，力$F$做的功为力$F$与$y$图线与坐标轴围成的面积，即$W_F = \frac{1}{2}F_0(h - h_0)$。
篮球从开始施加力$F$到落到地面过程，由动能定理得：$W_F + mgh - \lambda mgh = \frac{1}{2}mv_1'^2$。
设篮球与地面碰撞后速率为$v_2'$，由（1）可知碰后速率与碰前速率之比为$\sqrt{\frac{(1 + \lambda)h}{(1 - \lambda)H}}$，即$\frac{v_2'}{v_1'} = \sqrt{\frac{(1 + \lambda)h}{(1 - \lambda)H}}$。
篮球弹起后运动到$h$高度过程，由动能定理得：$-(mg + \lambda mg)h = 0 - \frac{1}{2}mv_2'^2$。
联立解得：$F_0 = \frac{2(1 - \lambda)mg(H - h)}{h - h_0}$。
(3) 拍击第$1$次后瞬间动能为：$E_{k0} = \frac{I^2}{2m}$，
下落至地面时动能：$E_{k1} = E_{k0} + (1 - \lambda)mgh$，
设第$1$次拍击后反弹高度为$h_1$，与地面碰撞后动能为：$E_{k1}' = (1 + \lambda)mgh_1$，
由与地面碰撞前后速率关系有：$E_{k1}' = \frac{(1 + \lambda)h}{(1 - \lambda)H}E_{k1}$，
解得：$h_1 = \frac{(1 + \lambda)hE_{k0}}{(1 - \lambda)(1 + \lambda)mgH} + \frac{h}{H}h$；
同理，第$2$次拍击后篮球反弹高度为$h_2$，$h_2 = \frac{(1 + \lambda)hE_{k0}}{(1 - \lambda)(1 + \lambda)mgH} + \frac{h}{H}h_1$，
$\cdots$
第$N$次拍击后篮球反弹高度$h_N$，$h_N = \frac{(1 + \lambda)hE_{k0}}{(1 - \lambda)(1 + \lambda)mgH}×\frac{1 - (\frac{h}{H})^N}{1 - \frac{h}{H}} + (\frac{h}{H})^NH$，
由题意可知$h_N = H$，
解得：$I = m\sqrt{\frac{2g(H - h)(H^{N + 1} - h^{N + 1})(1 - \lambda)}{(H^N - h^N)h}}$。
综上，答案为：$m\sqrt{\frac{2g(H - h)(H^{N + 1} - h^{N + 1})(1 - \lambda)}{(H^N - h^N)h}}$。