《2025年资源库高中物理人教版》

例 168 已知火星两极和赤道的重力加速度之比为 $ n $,火星的自转角速度为 $ \omega $,将火星视为均匀球体,则火星的近地卫星的角速度为(B)
A.$ \omega\sqrt{1 - \frac{1}{n}} $
B.$ \omega\sqrt{\frac{n}{n - 1}} $
C.$ \omega\sqrt{\frac{1}{n - 1}} $
D.$ \omega\sqrt{\frac{n}{n + 1}} $
【解析】设火星两极的重力加速度为 $ g $,根据万有引力与重力的关系有 $ \frac{GMm}{R^{2}} = mg $,根据万有引力提供向心力有 $ \frac{GMm}{R^{2}} = m\omega'^{2}R $,火星近地卫星的角速度为 $ \omega' = \sqrt{\frac{GM}{R^{3}}} = \sqrt{\frac{g}{R}} $,已知火星两极和赤道的重力加速度之比 $ \frac{mg}{mg'} = n = \frac{mg}{mg - m\omega^{2}R} $,联立解得 $ \omega' = \omega\sqrt{\frac{n}{n - 1}} $,B 正确。
【答案】B

答案： B

 例$169已知地球的半径为R$,地球表面的重力加速度为$g$,不考虑地球自转的影响.
(1)推导出第一宇宙速度$v_{1}$的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动,运行轨道距离地面的高度为$h$,求卫星的运行周期$T$.
【解析】(1)设卫星的质量为$m$,地球的质量为$M$,
在地球表面附近满足$G\frac{Mm}{R^{2}} = mg$①
则$GM = R^{2}g$
近地卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力,则$G\frac{Mm}{R^{2}} = m\frac{v_{1}^{2}}{R}$③
将②式代入③式,得到$v_{1} = \sqrt{Rg}$④
(2)卫星此时距地球表面的高度为$h$,结合②式可知卫星受到的万有引力为
$F = G\frac{Mm}{(R + h)^{2}} = \frac{mgR^{2}}{(R + h)^{2}}$⑤
由万有引力提供向心力得$F = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}(R + h)$⑥
⑤⑥两式联立解得$T = \frac{2\pi}{R}\sqrt{\frac{(R + h)^{3}}{g}}$
【答案】(1)$v_{1} = \sqrt{Rg}$(2)$\frac{2\pi}{R}\sqrt{\frac{(R + h)^{3}}{g}}$
【点拨】第一宇宙速度是在天体表面发射卫星的最小发射速度,也是卫星近“地”做圆周运动的最大运行速度,不同天体的第一宇宙速度一般不同. 求解第一宇宙速度常用$\frac{GMm}{R^{2}} = \frac{mv^{2}}{R}$. 在$G$未知时,除非估算类问题,一般不能把$G$作为已知量,而是用黄金代换式消去$G$求解.

答案：
(1)设卫星质量为$m$，地球质量为$M$。在地球表面，由万有引力等于重力得：$G\frac{Mm}{R^{2}}=mg$，则$GM=R^{2}g$。近地卫星做圆周运动，万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{R^{2}}=m\frac{v_{1}^{2}}{R}$，联立解得$v_{1}=\sqrt{Rg}$。
(2)卫星轨道半径为$R + h$，万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{(R + h)^{2}}=m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}(R + h)$，将$GM=R^{2}g$代入，解得$T=\frac{2\pi}{R}\sqrt{\frac{(R + h)^{3}}{g}}$。
(1)$v_{1}=\sqrt{Rg}$
(2)$T=\frac{2\pi}{R}\sqrt{\frac{(R + h)^{3}}{g}}$

典型$11$环绕运动中有关物理量的比较
例$170$[天津新高考]北斗问天,国之夙愿. 我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星,其轨道半径约为地球半径的$7$倍. 与近地轨道卫星相比,

地球静止轨道卫星 (A)
A.周期大
B.线速度大
C.角速度大
D.加速度大
【解析】卫星绕地球做圆周运动,万有引力提供其做圆周运动的向心力,根据万有引力定律有$G\frac{Mm}{R^{2}} = $
$m\frac{v^{2}}{R} = m\omega^{2}R = ma$,解得线速度$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$,
角速度$\omega = \sqrt{\frac{GM}{R^{3}}}$,向心加速度$a = \frac{GM}{R^{2}}$,周期$T = \sqrt{\frac{4\pi^{2}R^{3}}{GM}}$,可知$v$、$\omega$、$a随轨道半径R$的增大而减
小,周期$T随轨道半径R$的增大而增大,故A正确.
【答案】A
【点拨】对于环绕地球运动的卫星,若轨道半径$R$增大,其周期$T$变大,线速度$v$、角速度$\omega和向心加速度a$都变小；若$R$减小,其周期$T$变小,线速度$v$、角速度$\omega和向心加速度a$都变大.

答案： A

典型$12$人造卫星中的物体“失重”问题
例$171$在圆轨道上运行的空间站里,一航天员$A$静止(相对空间舱)“站”在舱内朝向地球一侧的“地板”$B$上,如图$1 - 7 - 26$所示,下列说法中正确的是


A.航天员$A$不受地球引力作用
B.航天员$A$所受地球引力与他在地面上所受重力相等
C.航天员$A$与“地板”$B$之间无弹力作用
D.若航天员$A$将手中一小球无初速度(相对于空间舱)释放,该小球将落到“地板”$B$上

【解析】地球周围所有物体都会受到地球的引力作用,空间站里的航天员$A$同样受地球引力作用；地面上方不同高度处,重力加速度不同,航天员$A$在空间站里所受地球引力小于他在地面上所受重力；
由于空间站绕地球做匀速圆周运动,空间站中的物体与空间站地板间无相互作用,即物体处于完全“失重”状态,所以航天员$A$与“地板”$B$之间无弹力作用；若航天员$A$将手中一小球无初速度释放,由于惯性,小球将沿原来和空间站一起的圆轨道做匀速圆周运动,而不会落到“地板”$B$上,C正确.
【答案】C

答案： C