《2025年资源库高中物理人教版》

例589 [湖北2024·13]如图1-24-25所示,在竖直放置、开口向上的圆柱形容器内用质量为$m$的活塞密封一部分理想气体,活塞横截面积为$S$,能无摩擦地滑动. 初始时容器内气体的温度为$T_{0}$,气柱的高度为$h$. 当容器内气体从外界吸收一定热量后,活塞缓慢上升$\frac{1}{5}h$再次平衡. 已知容器内气体内能变化量$\Delta U与温度变化量\Delta T的关系式为\Delta U = C\Delta T$,$C$为已知常数,大气压强恒为$p_{0}$,重力加速度大小为$g$,所有温度为热力学温度.求:
(1)再次平衡时容器内气体的温度.
(2)此过程中容器内气体吸收的热量.
【解析】(1)活塞缓慢上升,活塞始终处于平衡态,设容器内气体的压强为$p$,对活塞受力分析,有$pS = p_{0}S + mg$,可知容器内气体的压强$p$不变,活塞缓慢上升的过程,对封闭气体由盖-吕萨克定律可知$\frac{Sh}{T_{0}} = \frac{S(h + \frac{1}{5}h)}{T}$,解得$T = \frac{6}{5}T_{0}$.
(2)活塞缓慢上升过程中,外界对气体做的功为$W = -\frac{1}{5}pSh$,容器内气体内能变化量为$\Delta U = C\Delta T = \frac{1}{5}CT_{0}$,由热力学第一定律可知$\Delta U = Q + W$,联立解得$Q = \Delta U - W = \frac{1}{5}CT_{0} + \frac{1}{5}(p_{0}S + mg)h$.
【答案】(1)$\frac{6}{5}T_{0}$ (2)$\frac{1}{5}CT_{0} + \frac{1}{5}(p_{0}S + mg)h$

答案：
(1)对活塞受力分析有$pS = p_0S + mg$，气体压强$p$不变。由盖-吕萨克定律$\frac{Sh}{T_0}=\frac{S(h+\frac{1}{5}h)}{T}$，解得$T = \frac{6}{5}T_0$。
(2)$\Delta U = C\Delta T = C(T - T_0)=\frac{1}{5}CT_0$。气体对外做功$W=-p\Delta V=-p\cdot\frac{1}{5}Sh=-\frac{1}{5}(p_0S + mg)h$。由热力学第一定律$\Delta U = Q + W$，得$Q=\Delta U - W=\frac{1}{5}CT_0+\frac{1}{5}(p_0S + mg)h$。
(1)$\frac{6}{5}T_0$
(2)$\frac{1}{5}CT_0 + \frac{1}{5}(p_0S + mg)h$

例590 [湖南新高考]如图1-24-26,小赞同学设计了一个液体拉力测量仪. 一个容积$V_{0} = 9.9L$的导热汽缸下接一圆管,用质量$m_{1} = 90g$、横截面积$S = 10cm^{2}$的活塞封闭一定质量的理想气体,活塞与圆管壁间摩擦不计. 活塞下端用轻质细绳悬挂一质量$m_{2} = 10g$的U形金属丝,活塞刚好处于$A$位置. 将金属丝部分浸入待测液体中,缓慢升起汽缸,使金属丝从液体中拉出,活塞在圆管中的最低位置为$B$. 已知$A$、$B间距离h = 10cm$,外界大气压强$p_{0} = 1.01×10^{5}Pa$,重力加速度取$10m/s^{2}$,环境温度保持不变. 求



(i)活塞处于$A$位置时,汽缸中的气体压强$p_{1}$;
(ii)活塞处于$B$位置时,液体对金属丝拉力$F$的大小.
【解析】(i)当活塞处于$A$位置时,对活塞和金属丝整体受力分析,有$p_{1}S + (m_{1} + m_{2})g = p_{0}S$,解得$p_{1} = 1.00×10^{5}Pa$.
(ii)当活塞处于$B$位置时,设汽缸中的气体压强为$p_{2}$,由玻意耳定律有$p_{1}V_{0} = p_{2}(V_{0} + Sh)$,对活塞和金属丝整体受力分析有$p_{2}S + (m_{1} + m_{2})g + F = p_{0}S$,解得$F = 1N$.
【答案】(i)$1.00×10^{5}Pa$ (ii)$1N$

答案： (i)对活塞和金属丝整体受力分析，由平衡条件得：$p_{1}S + (m_{1} + m_{2})g = p_{0}S$
代入数据：$m_{1}=0.09kg$，$m_{2}=0.01kg$，$S=10×10^{-4}m^{2}$，$p_{0}=1.01×10^{5}Pa$，$g=10m/s^{2}$
解得：$p_{1}=p_{0}-\frac{(m_{1}+m_{2})g}{S}=1.01×10^{5}Pa-\frac{0.1kg×10N/kg}{10^{-3}m^{2}}=1.00×10^{5}Pa$
(ii)气体发生等温变化，由玻意耳定律得：$p_{1}V_{0}=p_{2}(V_{0}+Sh)$
$V_{0}=9.9L=9.9×10^{-3}m^{3}$，$h=0.1m$，$Sh=10^{-3}m^{2}×0.1m=10^{-4}m^{3}=0.1L$
解得：$p_{2}=\frac{p_{1}V_{0}}{V_{0}+Sh}=\frac{1.00×10^{5}Pa×9.9L}{10.0L}=0.99×10^{5}Pa$
对活塞和金属丝整体受力分析：$p_{2}S + (m_{1} + m_{2})g + F = p_{0}S$
解得：$F=p_{0}S - p_{2}S - (m_{1}+m_{2})g=(p_{0}-p_{2})S - (m_{1}+m_{2})g=(1.01×10^{5}Pa - 0.99×10^{5}Pa)×10^{-3}m^{2}-1N=1N$
(i)$1.00×10^{5}Pa$
(ii)$1N$

例591 [重庆新高考]定高气球是种气象气球,充气完成后,其容积变化可以忽略. 现有容积为$V_{1}的某气罐装有温度为T_{1}$、压强为$p_{1}$的氦气,将该气罐与未充气的某定高气球连通充气. 当充气完成后达到平衡状态后,气罐和球内的温度均为$T_{1}$,压强均为$kp_{1}$,$k$为常数. 然后将气球密封并释放升空至某预定高度,气球内气体视为理想气体,假设全过程无漏气.
①求密封时定高气球内气体的体积;
②若在该预定高度球内气体重新达到平衡状态时的温度为$T_{2}$,求此时气体的压强.
【解析】①设密封时定高气球内气体的体积为$V$,以气罐内原有气体为研究对象,由玻意耳定律可得$p_{1}V_{1} = kp_{1}(V_{1} + V)$,解得$V = \frac{V_{1}(1 - k)}{k}$.
②设在预定高度气球内气体压强为$p_{2}$,以气球内气体为研究对象,由查理定律可得$\frac{kp_{1}}{T_{1}} = \frac{p_{2}}{T_{2}}$,解得$p_{2} = \frac{kp_{1}T_{2}}{T_{1}}$.
【答案】①$\frac{V_{1}(1 - k)}{k}$ ②$\frac{kp_{1}T_{2}}{T_{1}}$

答案： ①以气罐内原有气体为研究对象，由玻意耳定律得：$p_{1}V_{1}=kp_{1}(V_{1}+V)$，解得$V=\frac{V_{1}(1 - k)}{k}$。
②以气球内气体为研究对象，由查理定律得：$\frac{kp_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}}{T_{2}}$，解得$p_{2}=\frac{kp_{1}T_{2}}{T_{1}}$。

例592 [河北新高考]水平放置的气体阻尼器模型截面如图1-24-27所示,汽缸中间有一固定隔板,将汽缸内一定质量的某种理想气体分为两部分,“H”型连杆活塞的刚性连杆从隔板中央圆孔穿过,连杆与隔板之间密封良好. 设汽缸内、外压强均为大气压强$p_{0}$. 活塞面积为$S$,隔板两侧气体体积均为$SL_{0}$,各接触面光滑. 连杆的截面积忽略不计. 现将整个装置缓慢旋转至竖直方向,稳定后,上部气体的体积为原来的$\frac{1}{2}$,设整个过程温度保持不变,求:

(i)此时上、下部分气体的压强;
(ii)“H”型连杆活塞的质量(重力加速度大小为$g$).
【解析】(i)气体发生等温变化,对上部分气体,由玻意耳定律有$p_{0}SL_{0} = p_{1}S\cdot\frac{L_{0}}{2}$,解得$p_{1} = 2p_{0}$,对下部分气体,由玻意耳定律有$p_{0}SL_{0} = p_{2}S\cdot\frac{3}{2}L_{0}$,解得$p_{2} = \frac{2}{3}p_{0}$.
(ii)稳定时,对“H”型连杆受力分析有$p_{1}S - p_{2}S - mg = 0$,得$m = \frac{4p_{0}S}{3g}$.
【答案】(i)$2p_{0}$ $\frac{2}{3}p_{0}$ (ii)$\frac{4p_{0}S}{3g}$

答案： (i)
对上部分气体，由玻意耳定律：
$p_0 S L_0 = p_1 S \cdot \frac{L_0}{2}$
解得：
$p_1 = 2p_0$
对下部分气体，由玻意耳定律：
$p_0 S L_0 = p_2 S \cdot \frac{3L_0}{2}$
解得：
$p_2 = \frac{2}{3} p_0$
(ii)
稳定时，对“H”型连杆受力分析：
$p_1 S - p_2 S - mg = 0$
代入$p_1 = 2p_0$和$p_2 = \frac{2}{3} p_0$，得：
$2p_0 S - \frac{2}{3} p_0 S - mg = 0$
解得：
$m = \frac{4p_0 S}{3g}$
【答案】(i) $2p_0$，$\frac{2}{3} p_0$ (ii) $\frac{4p_0 S}{3g}$