《2025年资源库高中物理人教版》

例36 一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以 $3\ m/s^2$ 的加速度开始加速行驶,恰在这时一辆自行车以 $v = 6\ m/s$ 的速度匀速驶来,从后边超过汽车.则汽车从路口启动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远,此时两车的距离是多少?
【解析】解法一(公式法):
画出汽车和自行车的行程草图如图 1 - 2 - 36 所示,当汽车的速度与自行车的速度相等时,两车之间的距离最大.设经过时间 $t_0$ 两车之间的距离最大,则有 $v_{汽} = at_0 = v$,所以 $t_0 = \dfrac{v}{a} = 2\ s$,$\Delta x_m = x_{自} - x_{汽} = vt_0 - \dfrac{1}{2}at_0^2 = 6 × 2\ m - \dfrac{1}{2} × 3 × 2^2\ m = 6\ m$.
解法二(图像法):
画出自行车和汽车的速度—时间图像如图 1 - 2 - 37 所示,自行车的位移 $x_{自}$ 等于其 $v - t$ 图线与时间轴围成的矩形的面积,而汽车的位移 $x_{汽}$ 等于其 $v - t$ 图线与时间轴围成的三角形的面积.两车之间的距离等于图中矩形的面积与三角形面积的差,不难看出,当 $t = t_0$ 时矩形与三角形的面积之差最大.由图 1 - 2 - 37 可知 $t_0$ 时汽车的速度为 $6\ m/s$,故 $t_0 = \dfrac{v}{a} = 2\ s$,当 $t_0 = 2\ s$ 时两车之间的距离最大,为 $\Delta x_m = \dfrac{1}{2} × 2 × 6\ m = 6\ m$.
解法三(二次函数极值法):
设经过时间 $t$ 汽车和自行车之间的距离为 $\Delta x$,则 $\Delta x = x_{自} - x_{汽} = v_{自}t - \dfrac{1}{2}at^2 = \left(6t - \dfrac{3}{2}t^2\right)\ m = \left[-\dfrac{3}{2} × (t - 2)^2\right]\ m + 6\ m$.当 $t = 2\ s$ 时两车之间的距离有最大值 $\Delta x_m$,且 $\Delta x_m = 6\ m$.
解法四(相对运动法):
选自行车为参考系,则从开始运动到两车相距最远这段过程中,以汽车相对地面的运动方向为正方向,汽车相对此参考系的各个物理量分别为: $v_0 = -6\ m/s$,$a = 3\ m/s^2$,$v_t = 0$,对汽车由公式 $2ax_m = v_t^2 - v_0^2$ 得 $x_m = \dfrac{v_t^2 - v_0^2}{2a} = \dfrac{0 - (-6)^2}{2 × 3}\ m = -6\ m$.
【答案】$2\ s$ $6\ m$

答案： $ 2\, s $，$ 6\, m $

例37 车从静止开始以 $a = 1\ m/s^2$ 的加速度沿直线前进,在车开始运动的同时,车后 $x_0 = 20\ m$ 处,某人骑自行车开始以 $6\ m/s$ 的速度匀速追赶,人能否追上车?若不能追上,人与车的最小距离是多少?若能追上,什么时候追上?


【解析】解法一(利用速度相等这一条件求解):
当车的速度与人的速度相等时,相距最近,此时若追不上,以后永远追不上.
$v_{车} = at$,$v_{人} = 6\ m/s$,
当 $v_{车} = v_{人}$ 时,$t = \dfrac{v_{人}}{a} = \dfrac{6}{1}\ s = 6\ s$.
人与车的位移分别为 $x_{人} = v_{人}t = 6 × 6\ m = 36\ m$,
$x_{车} = \dfrac{1}{2}at^2 = \dfrac{1}{2} × 1 × 6^2\ m = 18\ m$,
显然 $x_{车} + x_0 = 38\ m ＞ x_{人}$,人追不上车.
人与车的最小距离为 $\Delta x = x_{车} + x_0 - x_{人} = 18\ m + 20\ m - 36\ m = 2\ m$.
解法二(利用二次函数求解):
车与人的位移分别为 $x_{车} = \dfrac{1}{2}at^2$,$x_{人} = v_0t$,
车与人的距离 $\Delta x = x_{车} + x_0 - x_{人} = x_0 + \dfrac{1}{2}at^2 - v_0t = \left[\dfrac{1}{2}(t - 6)^2 + 2\right]\ m$.
显然 $\Delta x$ 不小于 $2\ m$,即人追不上车,且当 $t = 6\ s$ 时,$\Delta x$ 有最小值 $2\ m$,即人与车的最小距离为 $2\ m$.
【答案】不能 $2\ m$

答案： 不能，最小距离 $ 2\ m $。