《2025年资源库高中物理人教版》

例435 [广东新高考]
一个水平放置的圆柱形罐体内装了一半的透明液体,液体上方是空气,其截面如图1-17-45所示。一激光器从罐体底部 $ P $ 点沿着罐体的内壁向上移动,它所发出的光束始终指向圆心 $ O $ 点。当光束与竖直方向成 $ 45° $ 角时,恰好观察不到从液体表面射向空气的折射光束。已知光在空气中的传播速度为 $ c $,求液体的折射率 $ n $ 和激光在液体中的传播速度 $ v $。
$ \sqrt{2} $；$ \frac{\sqrt{2}}{2}c $

答案： $\sqrt{2}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}c$

例436 [全国高考]
如图1-17-46,边长为 $ a $ 的正方形 $ ABCD $ 为一棱镜的横截面,$ M $ 为 $ AB $ 边的中点。在截面所在平面内,一光线自 $ M $ 点射入棱镜,入射角为 $ 60° $,经折射后在 $ BC $ 边的 $ N $ 点恰好发生全反射,反射光线从 $ CD $ 边的 $ P $ 点射出棱镜。求棱镜的折射率以及 $ P $、$ C $ 两点之间的距离。

【解析】光线在 $ M $ 点发生折射,设其折射角为 $ \theta $,由折射定律有 $ \sin 60° = n \sin \theta $,由题知,光线经折射后在 $ BC $ 边的 $ N $ 点恰好发生全反射,则 $ \sin C_0 = \frac{1}{n} $,$ C_0 = 90° - \theta $,联立解得 $ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $,$ n = \frac{\sqrt{7}}{2} $,根据几何关系有 $ \tan \theta = \frac{MB}{BN} = \frac{PC}{NC} $,又 $ MB = \frac{a}{2} $,$ BN + NC = a $,联立解得 $ PC = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}a $。
【答案】$ \frac{\sqrt{7}}{2} $ $ \frac{\sqrt{3} - 1}{2}a $

答案： 1. 设棱镜折射率为$ n $，光线在$ M $点折射角为$ \theta $，由折射定律：$ \sin 60° = n \sin \theta $。
2. 在$ N $点恰好全反射，入射角等于临界角$ C $，则$ \sin C = \frac{1}{n} $，且由几何关系知$ C = 90° - \theta $，故$ \sin C = \cos \theta = \frac{1}{n} $。
3. 由$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $，代入$ \sin \theta = \frac{\sin 60°}{n} = \frac{\sqrt{3}}{2n} $和$ \cos \theta = \frac{1}{n} $，得$ \left( \frac{\sqrt{3}}{2n} \right)^2 + \left( \frac{1}{n} \right)^2 = 1 $，解得$ n = \frac{\sqrt{7}}{2} $。
4. 由$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{3}}{2} $，几何关系$ \tan \theta = \frac{MB}{BN} $，$ MB = \frac{a}{2} $，得$ BN = \frac{a}{\sqrt{3}} $，则$ NC = a - \frac{a}{\sqrt{3}} $。
5. 由$ \tan \theta = \frac{PC}{NC} $，得$ PC = NC \cdot \tan \theta = \left( a - \frac{a}{\sqrt{3}} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}a $。
$ \frac{\sqrt{7}}{2} $；$ \frac{\sqrt{3} - 1}{2}a $

例437 [全国高考]
一细束单色光在三棱镜 $ ABC $ 的侧面 $ AC $ 上以大角度由 $ D $ 点入射(入射面在棱镜的横截面内),入射角为 $ i $,经折射后射至 $ AB $ 边的 $ E $ 点,如图1-17-47所示。逐渐减小 $ i $,$ E $ 点向 $ B $ 点移动,当 $ \sin i = \frac{1}{6} $ 时,恰好没有光线从 $ AB $ 边射出棱镜,且 $ DE = DA $。求棱镜的折射率。
【解析】设棱镜的折射率为 $ n $,当 $ \sin i = \frac{1}{6} $ 时,恰好没有光线从 $ AB $ 边射出,即此时光线在 $ AB $ 界面发生全反射,光路图如图1-17-48所示,
对入射点 $ D $ 有 $ n = \frac{\sin i}{\sin r} $,对反射点 $ E $ 有 $ n = \frac{1}{\sin \theta} $,根据题意,由几何知识得 $ 2\alpha + \beta = \pi $,$ \alpha + \theta = \frac{\pi}{2} $,$ \beta + r = \frac{\pi}{2} $,联立可得 $ n = 1.5 $。
【答案】1.5

答案： 1.5