《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

例3 难度★★★
用火柴棒按图3-2的方式搭建三角形：

(1)填表：
|三角形个数|1|2|3|4|...|
|火柴棒根数| | | | |...|
(2)当三角形的个数为$n$时,火柴棒的根数是多少？
(3)当$n= 1000$时,火柴棒的根数是多少？
解 (1)按照图3-2中火柴棒的根数填表即可；
(2)当三角形的个数为1,2,3,4时,火柴棒的根数分别为3,5,7,9,由此可以看出三角形的个数每增加1,火柴棒的根数增加2,所以当三角形的个数为$n$时,火柴棒的根数增加$2(n-1)$,那么此时火柴棒的根数应该为$3+2(n-1)$；
(3)当$n= 1000$时,直接代入(2)所求的规律中即可。
答 (1)3 5 7 9
(2)当三角形的个数为1时,火柴棒的根数为3；
当三角形的个数为2时,火柴棒的根数为5；
当三角形的个数为3时,火柴棒的值数为7；
当三角形的个数为4时,火柴棒的根数为9；
……
由此可以看出：每当三角形的个数增加1时,火柴棒的根数相应地增加2,
所以当三角形的个数为$n$时,火柴棒的根数为$3+2(n-1)= 2n+1$。
(3)由(2)得出的规律：当三角形的个数为$n$时,火柴棒的根数为$2n+1$,
所以当$n= 1000$时,$2n+1= 2×1000+1= 2001$。
点拨 本题考查了图形的变化规律的探索,解题关键是根据第一问的结果总结规律,得到规律：三角形每增加1个,火柴棒增加2根,然后由此规律解答第三问。

答案： 【解析】：
(1) 通过观察图形和表格，我们可以发现，每增加一个三角形，就需要增加两根火柴棒。
当三角形个数为1时，火柴棒根数为3；
当三角形个数为2时，火柴棒根数为5（即3+2）；
当三角形个数为3时，火柴棒根数为7（即5+2）；
当三角形个数为4时，火柴棒根数为9（即7+2）。
所以，填表结果为：3，5，7，9。
(2) 对于n个三角形，我们可以根据上面的规律推导出火柴棒的根数。
当n=1时，火柴棒根数为3；
当n＞1时，每增加一个三角形，火柴棒根数增加2。
因此，对于n个三角形，火柴棒的根数为$3+2(n-1)=2n+1$。
(3) 当n=1000时，将n代入$2n+1$的公式中，得到火柴棒的根数为$2×1000+1=2001$。
【答案】：
(1) 填表结果：3，5，7，9。
(2) 当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为$2n+1$。
(3) 当n=1000时，火柴棒的根数为2001。

规律总结、代数式求值。

答案： 答案略

从特殊到一般的归纳。

答案： 答案略

从前四个图形揭示规律。

答案： 【解析】：
这个问题是关于寻找图形的规律，并将这个规律用整式表示出来。
首先，需要观察图形的变化规律。
假设第一个图形有1个某种元素（例如，小方块或点），并且每增加一个图形，就增加一定数量的这种元素。
需要找出这个增加的数量与图形序号之间的关系。
观察发现：
第一个图形有1个元素；
第二个图形有1+3=4个元素；
第三个图形有1+3+5=9个元素；
第四个图形有1+3+5+7=16个元素。
可以看出，每个图形比前一个图形多增加了连续的奇数个元素。
这实际上是一个等差数列的求和问题，其中首项是1，公差是2，项数是图形的序号。
等差数列的前n项和公式是：
$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
其中，$a_1$ 是首项，$a_n$ 是第n项。
在这个问题中，首项 $a_1 = 1$，第n项 $a_n = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1$（因为是一个奇数序列）。
所以，前n个图形的元素总数是：
$S_n = \frac{n(1 + (2n - 1))}{2} = \frac{n × 2n}{2} = n^2$
因此，可以推断出第n个图形有 $n^2$ 个元素。
【答案】：
第n个图形有 $n^2$ 个元素。

(1)根据图示填空完成表格；
(2)根据表格结论揭示规律；
(3)把$n= 1000$代入计算。

答案： 答案略