《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

压轴1 立体图形的展开与折叠
例1 难度★★★
有一个正方体如图5-5放置(有三个面上分别标有数字4,6,8),它的平面展开图可能是下列四个选项中的( )。

图5-5

图5-6
答 A

答案： 【解析】：
本题考查正方体的展开图。
正方体的展开图有“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型、“3-3”型。
需要根据正方体的特性，判断哪个选项可以折叠成带有数字4、6、8的正方体，并且数字的位置与图5-5中的正方体一致。
分析图5-5中的正方体：
正方体有三个面分别标有数字4、6、8。
数字4和6是相邻的面。
数字6和8也是相邻的面。
数字4和8是相对的面（在正方体中不相邻）。
分析选项：
A选项：
数字4和6相邻，符合。
数字6和8相邻，符合。
数字4和8相对，符合。
B选项：
数字4和6相邻，符合。
数字6和8相对，不符合（因为6和8在正方体中应该是相邻的）。
C选项：
数字4和6相对，不符合（因为4和6在正方体中应该是相邻的）。
D选项：
数字4和6相邻，符合。
数字6和8相对，不符合（因为6和8在正方体中应该是相邻的）。
因此，只有选项A满足所有条件，即数字4和6相邻，数字6和8相邻，且数字4和8相对。
【答案】：
A

用“隔一相对”法确定正方体中相对的面：正方体的展开图中相对的两个面不相连,即“上下隔一行,左右隔一列”,即“隔一相对”,而且两个面之间没有公共边或公共点。

答案： 【解析】：
题目考查的是正方体展开图中相对面的确定方法，即“隔一相对”法。这是一个空间与图形的问题，需要通过理解和应用正方体展开图的性质来解决。
“隔一相对”法指的是在正方体展开图中，相对的两个面不相连，它们之间隔了一行或一列，且没有公共边或公共点。这是确定正方体展开图中相对面的一个重要方法。
【答案】：
在正方体的展开图中，要确定相对的面，可以使用“隔一相对”法。即找到那些之间隔了一行或一列，且没有公共边或公共点的两个面，它们就是相对的面。例如，在常见的正方体展开图中，如果上面和下面、前面和后面、左面和右面是相对的，那么它们在展开图中就不会相连，而是满足“隔一相对”的条件。

例2 难度★★★★
如图5-7,将长方形ABCD绕轴l旋转一周,则形成的立体图形的体积等于( )。
$A.πr^2h$
$B.2πr^2h$
$C.3πr^2h$
$D.4πr^2h$

图5-7
解 体积为$π·(2r)^2·h-πr^2h= 3πr^2h。$
答 C

答案： 【解析】：
本题主要考查了长方形旋转后形成的立体图形的体积计算，需要将不规则立体图形转化为规则立体图形来计算体积。
观察图形可知，将长方形$ABCD$绕轴$l$旋转一周后，形成的立体图形可以看作是一个底面半径为$2r$，高为$h$的圆柱，减去一个底面半径为$r$，高为$h$的圆柱。
根据圆柱的体积公式$V = \pi r^2h$（其中$V$为体积，$r$为底面半径，$h$为高），分别计算两个圆柱的体积：
底面半径为$2r$，高为$h$的圆柱体积$V_1 = \pi(2r)^2h = 4\pi r^2h$。
底面半径为$r$，高为$h$的圆柱体积$V_2 = \pi r^2h$。
那么所求立体图形的体积$V = V_1 - V_2 = 4\pi r^2h - \pi r^2h = 3\pi r^2h$。
【答案】：
C

图5-8

解题策略
求旋转得到的立体图形的表面积或体积主要分三步:(1)确定旋转得到的立体图形的形状；(2)将已知数据转化为立体图形中的数据；(3)根据面积或体积公式进行计算。

答案： 答案略

例3 难度★★★★★
用白萝卜等材料做一个正方体,并把正方体表面涂上颜色。
(1)把正方体的棱二等分,然后沿等分线把正方体切开,得到8个小正方体,观察其中三面被涂色的有a个,如图5-9①所示,那么a= ；
(2)把正方体的棱三等分,然后沿等分线把正方体切开,得到27个小正方体,观察其中三面被涂色的有a个,各面都没有涂色的有b个,如图5-9②所示,那么a+b= ；
(3)把正方体的棱四等分,然后沿等分线把正方体切开,得到64个小正方体,观察其中两面被涂色的有c个,各面都没有涂色的有b个,如图5-9③所示,那么b+c= 。

图5-9
解 (1)三面被涂色的有8个,故a= 8。
(2)三面被涂色的有8个,各面都没有涂色的有1个,故a+b= 8+1= 9。
(3)两面被涂色的有24个,各面都没有涂色的有8个,故b+c= 8+24= 32。
答 (1)8 (2)9 (3)32
必备知识 空间图形感知能力。
关键能力 充分发挥空间想象能力。
难点突破 依据“正方体顶点处的小正方体三面涂色,除顶点外位于棱上的小正方体两面涂色,位于表面中心的小正方体一面涂色,位于正中心的小正方体没有涂色”求解即可。

答案：
(1)解：三面被涂色的小正方体在正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以a=8。
(2)解：三面被涂色的小正方体在顶点处，有8个，即a=8；各面都没有涂色的小正方体在正方体内部，把棱三等分时，内部没有涂色的小正方体组成棱长为1的正方体，个数为1，即b=1，所以a+b=8+1=9。
(3)解：两面被涂色的小正方体在棱上（除去顶点），正方体有12条棱，棱四等分时，每条棱上两面涂色的小正方体有4-2=2个，所以c=12×2=24；各面都没有涂色的小正方体在内部，组成棱长为4-2=2的正方体，个数为2×2×2=8，即b=8，所以b+c=8+24=32。
(1)8
(2)9
(3)32