《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

例3
有一张面积为64$cm^{2}$的正方形纸片,第1次剪掉一半,第2次剪掉剩下纸片的一半,如此继续剪下去,第6次后剩下的纸片的面积是多少平方厘米?

思路引导 类比根据实际问题列乘法算式→列出乘方算式
答 第1次剪掉一半后,剩下的面积为$64×\frac{1}{2}= 64×\left(\frac{1}{2}\right)^{1}$;第2次剪掉一半后,剩下的面积为$64×\left(\frac{1}{2}\right)^{1}×\frac{1}{2}= 64×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}= 64×\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$;第3次剪掉一半后,剩下的面积为$64×\left(\frac{1}{2}\right)^{2}×\frac{1}{2}= 64×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}= 64×\left(\frac{1}{2}\right)^{3}$;……;所以第6次后剩下的面积为$64×\left(\frac{1}{2}\right)^{6}= 64×\frac{1}{64}= 1(cm^{2})$。
故第6次后剩下的纸片的面积是1$cm^{2}$。
技巧点拨
每次剪掉剩下一半,根据题意列出式子:第n次后剩下的面积是$64×\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$。
易错警示:
不要错误认为第n次后剩下的面积是$64×\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}或64×\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$。

答案： 【解析】：本题可根据每次剪掉后剩下纸片面积的规律，列出第$n$次后剩下纸片面积的表达式，再将$n = 6$代入表达式求出第$6$次后剩下纸片的面积。
步骤一：分析每次剪掉后剩下纸片面积的规律
已知正方形纸片的面积为$64cm^2$，第$1$次剪掉一半后，剩下的面积为$64×\frac{1}{2}= 64×(\frac{1}{2})^1$；
第$2$次剪掉剩下纸片的一半后，剩下的面积为$64×(\frac{1}{2})^1×\frac{1}{2}= 64×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}= 64×(\frac{1}{2})^2$；
第$3$次剪掉剩下纸片的一半后，剩下的面积为$64×(\frac{1}{2})^2×\frac{1}{2}= 64×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}= 64×(\frac{1}{2})^3$；
以此类推，可发现规律：第$n$次后剩下的面积是$64×(\frac{1}{2})^n$。
步骤二：计算第$6$次后剩下纸片的面积
将$n = 6$代入$64×(\frac{1}{2})^n$，可得：
$64×(\frac{1}{2})^6=64×\frac{1}{64}=1(cm^2)$
【答案】：第$6$次后剩下的纸片的面积是$1cm^2$。

变式3 见答案P210
我国陆地总面积约$9.6×10^{6}km^{2}$,平均1$km^{2}的陆地一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.5×10^{5}t$煤所产生的能量。
(1)一年内我国陆地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤?(用科学记数法表示)
(2)若1t煤大约可以发出$8×10^{3}kW·h$电,则(1)中的煤大约发出多少千瓦时电?(用科学记数法表示)

答案： 解:
(1)(9.6×10⁶)×(1.5×10⁵)=(9.6×1.5)×(10⁶×10⁵)=1.44×10¹²(t)。答:一年内我国陆地从太阳得到的能量相当于燃烧1.44×10¹²t煤。
(2)(1.44×10¹²)×(8×10³)=(1.44×8)×(10¹²×10³)=1.152×10¹⁶(kW·h)。答:
(1)中的煤大约发出1.152×10¹⁶kW·h电。

例1 2023·杭州中考
$(-2)^{2}+2^{2}= (\quad)$。

A.0
B.2
C.4
D.8
解 $(-2)^{2}+2^{2}= 4+4= 8$。
答 D

答案： 【解析】：
题目考查了有理数的乘方运算及基本的加法运算。
首先计算$(-2)^{2}$，由于负数的偶数次方结果为正，所以$(-2)^{2} = 4$。
接着计算$2^{2}$，结果为4。
最后，将两个结果相加，即$4 + 4 = 8$。
【答案】：
D