《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

利用运算律可使运算简便,对于某些不能直接使用运算律运算的题目,应结合数的特点,适当变形,从而为应用运算律创造条件。
例4
计算:(1)$25×\frac{3}{4}-(-25)×\frac{1}{2}+25×(-\frac{1}{4})$；
(2)$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})$。
解 (1)每一项都有25→提取25→计算；(2)计算原式的"倒数",被除数与除数位置互换。
答 (1)$25×\frac{3}{4}-(-25)×\frac{1}{2}+25×(-\frac{1}{4})= 25×(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4})= 25×1= 25$。
(2)因为原式的倒数为$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})= (\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)= -\frac{2}{3}×30+\frac{1}{10}×30-\frac{1}{6}×30+\frac{2}{5}×30= -20+3-5+12= -10$,所以原式$=-\frac{1}{10}$。

答案： 【解析】：
这道题目考查了有理数的乘法与除法运算，以及如何通过提取公因数和使用倒数来简化计算。
(1) 对于第一个表达式，观察到每一项都含有25，因此可以提取公因数25，然后进行计算。
(2) 对于第二个表达式，由于直接计算较为复杂，因此先求原式的倒数，即被除数与除数位置互换，然后计算该倒数的值，最后再取倒数得到原式的值。
【答案】：
(1) 解：
原式
$= 25 × \frac{3}{4} - (-25) × \frac{1}{2} + 25 × (-\frac{1}{4})$
$= 25 × (\frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4})$
$= 25 × 1$
$= 25$
(2) 解：
首先求原式的倒数，
$(\frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5}) ÷ (-\frac{1}{30})$
$= (\frac{2}{3} - \frac{1}{10} + \frac{1}{6} - \frac{2}{5}) × (-30)$
$= -\frac{2}{3} × 30 + \frac{1}{10} × 30 - \frac{1}{6} × 30 + \frac{2}{5} × 30$
$= -20 + 3 - 5 + 12$
$= -10$
所以，原式
$= -\frac{1}{10}$

例5
根据实验测定:高度每增加1 km,气温大约降低$6^{\circ}C$。一登山运动员在攀登某山峰的途中发回信息,报告他所在位置的气温为$-15^{\circ}C$,如果当时地面温度为$3^{\circ}C$,那么该登山运动员所在位置的高度大约是多少?
技巧点拨
(1)观察,逆用乘法分配律$ab+ac= a(b+c)$,提取25。
(2)遇除法变乘法,用乘法分配律计算,可用"倒数"$a÷b= \frac{1}{b×\frac{1}{a}}$计算。一个非零数取两次倒数,又能回到原数。
易错警示:
除法没有分配律。本题易出现如下错误:$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})= -\frac{1}{30}÷\frac{2}{3}+\frac{1}{30}÷\frac{1}{10}-\frac{1}{30}÷\frac{1}{6}+\frac{1}{30}÷\frac{2}{5}$。
解题策略
有理数除法没有分配律,"遇除法化乘法",若不便于化为乘法,有时也能想出巧妙的办法进行简便计算,其中倒数就是一个很好的桥梁,它能将不可能变为可能,将复杂变得简单。两数(式)相除,若计算不便,而它的倒数却容易计算,则可先求它的倒数,再把求得的结果倒过来即可。
变式3 见答案P209
用简便方法计算:(1)$-13×\frac{2}{3}-0.34×\frac{2}{7}+\frac{1}{3}×(-13)-\frac{5}{7}×0.34$；
(2)$-\frac{1}{210}÷(\frac{3}{7}+\frac{2}{15}-\frac{3}{10}-\frac{5}{21})$。
技巧点拨
根据高度与温度变化的关系,求得登山运动员所在位置的高度。将实际问题转化为数学问题时,往往需要利用建模思想,解答此类问题时,关键是发现温度与高度之间的关系,既可以根据高度求出温度,也可以根据温度求出高度。
思路引导

答 $[3-(-15)]÷6×1= (3+15)÷6×1= 3(km)$,故该登山运动员所在位置的高度大约是3 km。
变式4 见答案P209
某仓库的温度是$-2^{\circ}C$,现有一批水果要在$13^{\circ}C$的温度下储藏,如果仓库每小时升温$3^{\circ}C$,那么几小时后能达到所要求的温度?

答案： 变式3 见答案P209 用简便方法计算:
(1)$-13×\frac{2}{3}-0.34×\frac{2}{7}+\frac{1}{3}×(-13)-\frac{5}{7}×0.34$；
(2)$-\frac{1}{210}÷(\frac{3}{7}+\frac{2}{15}-\frac{3}{10}-\frac{5}{21})$。解:
(1)原式$=[-13×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×(-13)]+(-0.34×\frac{2}{7}-\frac{5}{7}×0.34)$$=-13×(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})-0.34×(\frac{2}{7}+\frac{5}{7})$$=-13-0.34$$=-13.34$。
(2)原式的倒数$=(\frac{3}{7}+\frac{2}{15}-\frac{3}{10}-\frac{5}{21})÷(-\frac{1}{210})=(\frac{3}{7}+\frac{2}{15}-\frac{3}{10}-\frac{5}{21})×(-210)=\frac{3}{7}×(-210)+\frac{2}{15}×(-210)-\frac{3}{10}×(-210)-\frac{5}{21}×(-210)=(-90)+(-28)+63+50=-5$,故原式$=-\frac{1}{5}$。变式4 见答案P209 某仓库的温度是$-2^{\circ}C$,现有一批水果要在$13^{\circ}C$的温度下储藏,如果仓库每小时升温$3^{\circ}C$,那么几小时后能达到所要求的温度?解:$[13-(-2)]÷3=15÷3=5(h)$。答:5 h后能达到所要求的温度。