《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

角的计数问题,可以转化为线段的计数问题,例如,在一条线段上有两个点(线段的端点除外)时,共有$1+2+3= 6$(条)线段。根据角的定义可以类比得到角的个数的计算公式:从一点引出n条射线,共有角的个数为$1+2+3+… +(n-1)= \frac {n(n-1)}{2}$。
例1
如图6-2-10,在$\angle AOB$的内部,以O为顶点引1条射线(如图6-2-10①),此时图中共有3个角,如果从点O引出2,3,4,…,n条射线,则能构成角的总个数又为多少?填表回答角的总个数。

|$\angle AOB$内部射线条数|1|2|3|…|n|
|角的总个数|3| | |…| |
思路引导 解决此类问题,应先从较简单的情况开始考虑,从特殊情况总结出一般规律。当$\angle AOB$内部射线分别为1条,2条,3条时,从OA边至OB边分别数出角的总个数,写出你的计算过程,进而找出其与$\angle AOB$内部射线条数的关系。
解 图6-2-10②中有$\angle AOC,\angle AOD,\angle AOB,\angle COD,\angle COB,\angle DOB$,共有$3+2+1= 6$个角。图6-2-10③中有$\angle AOC,\angle AOD,\angle AOE,\angle AOB,\angle COD,\angle COE,\angle COB,\angle DOE,\angle DOB,\angle EOB$,共有$4+3+2+1= 10$个角。依此类推,当$\angle AOB$内部有n条射线时共有$\frac {(n+1)(n+2)}{2}$个角。
答 6 10 $\frac {(n+1)(n+2)}{2}$
技巧点拨
一个角的内部有n条射线,这n条射线把角分成$(n+1)$个部分,角的总个数为$(n+1)+n+… +3+2+1$。
方法点拨
找角或数角的个数的方法:
1. 顺序寻找法:将最外面的一条射线作为“始边”,然后按顺时针或逆时针的顺序寻找构成角的另一边,直至找完为止;
2. 类比法:即类比数线段的条数的方法数角的个数。

答案： 【解析】：
本题考查角的计数问题，通过类比数线段的方法，从特殊情况出发，找出角的个数与$\angle AOB$内部射线条数的关系。
当$\angle AOB$内部有$1$条射线时，角的总个数为$1 + 2=3$个；
当$\angle AOB$内部有$2$条射线时，角的总个数为$1+2 + 3 = 6$个；
当$\angle AOB$内部有$3$条射线时，角的总个数为$1+2+3 + 4=10$个；
以此类推，当$\angle AOB$内部有$n$条射线时，这$n$条射线把角分成$(n + 1)$个部分，角的总个数为$(n + 1)+n+\cdots+3 + 2+1$，根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$（这里$n=n + 1$，$a_1 = 1$，$a_n=n + 1$）可得$\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$个。
【答案】：
|$\angle AOB$内部射线条数|1|2|3|…|n|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|角的总个数|3|6|10|…|$\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$|

有一类余角、补角问题,条件特点为已知一个角的补角与这个角的余角的数量关系,求这个角。这是求余角、补角题目中较复杂的一类。这类题往往适合列方程求解。直接设所求角为$x^{\circ }$,用含x的式子分别表示出这个角的余角和补角,利用给出的等量关系列方程求解。
例2
已知一个角的余角比它的补角的$\frac {1}{4}还多15^{\circ }$,求这个角的度数。
思路引导

答 设这个角的度数为$x^{\circ }$,则它的余角为$(90-x)^{\circ }$,补角为$(180-x)^{\circ }$,依题意,得$(90-x)-\frac {1}{4}(180-x)= 15$,解得$x= 40$。答:这个角的度数是$40^{\circ }$。
能力点3 有关角度的计算方法
有关角度的运算,可类比有理数的加减乘除运算,所不同的是,当角的单位是度、分、秒时,要按度、分、秒分别计算,并且要注意角的进制。角度之间的运算是60进制,加减运算要将度与度、分与分、秒与秒分别加减;分与分或秒与秒相加时逢60要进1,相减时若被减数的分(秒)不足,则要借$1^{\circ }(1')当60'(60'')$;乘法运算要用乘数分别与度、分、秒相乘,然后逢60进1;除法运算要用除数分别去除度、分、秒,度、分的小数部分乘60分别化为分、秒。
例3
计算:
(1)$27^{\circ }26'+53^{\circ }48'$;(2)$90^{\circ }-79^{\circ }18'6''$;
(3)$18^{\circ }13'× 5$;(4)$49^{\circ }28'52''÷ 4$。
答 (1)$27^{\circ }26'+53^{\circ }48'= 80^{\circ }74'= 81^{\circ }14'$。
(2)$90^{\circ }-79^{\circ }18'6''= 89^{\circ }59'60''-79^{\circ }18'6''= 10^{\circ }41'54''$。
(3)$18^{\circ }13'× 5= 90^{\circ }65'= 91^{\circ }5'$。
(4)$49^{\circ }28'52''÷ 4= 12.25^{\circ }+7'+13''= 12^{\circ }15'+7'+13''= 12^{\circ }22'13''$。
技巧点拨
余角、补角的相关计算往往利用方程思想,即设一个角的度数为$\alpha $,则它的余角和补角的度数分别为$90^{\circ }-\alpha $,$180^{\circ }-\alpha $,再根据题目所给的条件列方程求解。

答案： 【解析】：
题目考查余角和补角的概念以及一元一次方程的建立和求解。
根据余角和补角的定义，若设这个角的度数为$x^{\circ}$，则其余角为$(90 - x)^{\circ}$，补角为$(180 - x)^{\circ}$。
题目中给出这个角的余角比它的补角的$\frac{1}{4}$还多$15^{\circ}$，所以可以根据这个等量关系列出方程：
$(90 - x)-\frac{1}{4}(180 - x)= 15$
接下来解这个方程：
去括号得：$90 - x - 45+\frac{1}{4}x = 15$
移项得：$-x+\frac{1}{4}x=15 - 90 + 45$
合并同类项得：$-\frac{3}{4}x=-30$
系数化为$1$得：$x = 40$
【答案】：
这个角的度数是$40^{\circ}$。