《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

答 设这个角的度数为$x^{\circ }$,则它的余角为$(90-x)^{\circ }$,补角为$(180-x)^{\circ }$,依题意,得$(90-x)-\frac {1}{4}(180-x)= 15$,解得$x= 40$。答:这个角的度数是$40^{\circ }$。
能力点3 有关角度的计算方法
有关角度的运算,可类比有理数的加减乘除运算,所不同的是,当角的单位是度、分、秒时,要按度、分、秒分别计算,并且要注意角的进制。角度之间的运算是60进制,加减运算要将度与度、分与分、秒与秒分别加减;分与分或秒与秒相加时逢60要进1,相减时若被减数的分(秒)不足,则要借$1^{\circ }(1')当60'(60'')$;乘法运算要用乘数分别与度、分、秒相乘,然后逢60进1;除法运算要用除数分别去除度、分、秒,度、分的小数部分乘60分别化为分、秒。
例3
计算:
(1)$27^{\circ }26'+53^{\circ }48'$;(2)$90^{\circ }-79^{\circ }18'6''$;
(3)$18^{\circ }13'× 5$;(4)$49^{\circ }28'52''÷ 4$。
答 (1)$27^{\circ }26'+53^{\circ }48'= 80^{\circ }74'= 81^{\circ }14'$。
(2)$90^{\circ }-79^{\circ }18'6''= 89^{\circ }59'60''-79^{\circ }18'6''= 10^{\circ }41'54''$。
(3)$18^{\circ }13'× 5= 90^{\circ }65'= 91^{\circ }5'$。
(4)$49^{\circ }28'52''÷ 4= 12.25^{\circ }+7'+13''= 12^{\circ }15'+7'+13''= 12^{\circ }22'13''$。
技巧点拨
余角、补角的相关计算往往利用方程思想,即设一个角的度数为$\alpha $,则它的余角和补角的度数分别为$90^{\circ }-\alpha $,$180^{\circ }-\alpha $,再根据题目所给的条件列方程求解。
变式1 见答案P220
如图6-2-13,$\angle 2是\angle 1$的4倍,$\angle 2的补角比\angle 1的余角大45^{\circ }$。
(1)求$\angle 1,\angle 2$的度数;
(2)若$\angle AOD= 90^{\circ }$,试问OC平分$\angle AOB$吗？为什么？

技巧点拨
由于$90^{\circ }$只有单位度,而$79^{\circ }18'6''$除单位度外还有分、秒,故需将$90^{\circ }$化为度、分、秒的形式,以便与$79^{\circ }18'6''$的度、分、秒分别进行减法运算。

答案： 【解析】：本题主要考查余角、补角的相关计算以及角度的运算。
（1） 设$\angle 1 = x^{\circ}$，因为$\angle 2$是$\angle 1$的$4$倍，则$\angle 2 = 4x^{\circ}$。
$\angle 2$的补角为$(180 - 4x)^{\circ}$，$\angle 1$的余角为$(90 - x)^{\circ}$。
根据$\angle 2$的补角比$\angle 1$的余角大$45^{\circ}$，可列方程：
$(180 - 4x)-(90 - x)=45$
去括号得：$180 - 4x - 90 + x = 45$
移项得：$-4x + x = 45 - 180 + 90$
合并同类项得：$-3x = -45$
系数化为$1$得：$x = 15$
所以$\angle 1 = 15^{\circ}$，$\angle 2 = 4×15 = 60^{\circ}$。
（2）因为$\angle AOD = 90^{\circ}$，$\angle 1 = 15^{\circ}$，$\angle 2 = 60^{\circ}$，所以$\angle AOB=\angle AOD-\angle 2 = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
又因为$\angle AOC=\angle AOB+\angle 1 = 30^{\circ}+15^{\circ}=45^{\circ}$，$\angle BOC=\angle 2-\angle 1 = 60^{\circ}-15^{\circ}=45^{\circ}$。
所以$\angle AOC = \angle BOC$，根据角平分线的定义，可知$OC$平分$\angle AOB$。
【答案】：
(1)$\angle 1 = 15^{\circ}$，$\angle 2 = 60^{\circ}$；
(2)$OC$平分$\angle AOB$，理由：因为$\angle AOC = \angle BOC = 45^{\circ}$。