《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

例2
18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型(如图5-1-8所示),解答下列问题：

(1)根据上面多面体模型,补充表格中的空白处：
|多面体|顶点数(V)|面数(F)|棱数(E)|
|四面体|4|4| |
|长方体|8|6|12|
|正八面体| |8|12|
|正十二面体|20|12|30|
可发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 。
(2)一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是 。
解 (1)观察多面体模型,四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6。仔细分析表中数据,可以发现：V+F-E= 2。
(2)设面数为x,则x+(x-8)-30= 2,解得x= 20。
答 (1)6 6 V+F-E= 2 (2)20

答案： 【解析】：
本题主要考查了多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系，通过观察和计算不同多面体的这些数值，可以发现它们之间存在一个固定的关系式，即欧拉公式。同时，本题也考查了如何利用这个关系式来求解多面体的某些未知数值。
(1)观察给出的多面体模型，可以数出四面体的棱数为6，正八面体的顶点数为6。通过仔细分析表中数据，可以发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是$V+F-E=2$。
综上，本题答案是：6；6；$V+F-E=2$。
(2)对于第二个问题，知道一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱。可以根据欧拉公式$V+F-E=2$，设面数为$x$，则顶点数为$x-8$，棱数为30。将这些数值代入欧拉公式，得到方程$x+(x-8)-30=2$，解这个方程，得到$x=20$。
综上，本题答案是：20。
【答案】：
(1)6；6；$V+F-E=2$
(2)20

变式 见答案P217
如图5-1-9①②③④四个图形都是平面图形,观察图5-1-9②和表中对应数值。探究计数的方法并解答下面的问题。

(1)数一数每个图各有多少顶点、多少条边、这些边围成多少个区域,将结果填入下表：
|图序|①|②|③|④|
|顶点数(V)| |7| | |
|边数(E)| |9| | |
|区域数(F)| |3| | |
(2)根据表中的数值,写出平面图的顶点数(V)、边数(E)、区域数(F)之间的关系： 。
(3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域,这个平面图形的边数为 。

答案： 变式
(1)
图序 ① ② ③ ④
顶点数(V) 4 7 8 10
边数(E) 6 9 12 15
区域数(F) 3 3 5 6
(2)V+F=E+1
(3)30
[解析]
(1)结合图形我们可以得出:
题图①有 4 个顶点、6 条边、这些边围成 3 个区域;
题图②有 7 个顶点、9 条边、这些边围成 3 个区域;
题图③有 8 个顶点、12 条边、这些边围成 5 个区域;
题图④有 10 个顶点、15 条边、这些边围成 6 个区域。
(2)根据表中数据，顶点数用 V 表示，边数用 E 表示，区域数用 F 表示，它们的关系可表示为 V+F=E+1。
(3)把 V=20,F=11 代入上式得 E=V+F−1=20+11−1=30。故如果平面图形有 20 个顶点和 11 个区域，那么这个平面图形的边数为 30。

例1 2023·巴中中考
如图5-1-10所示的图形中,为圆柱的是( )。

解 由圆柱的特征可知,B选项是圆柱。
答 B

答案： 【解析】：
本题考查圆柱的识别，圆柱的特征是：上、下底面是两个完全相同的圆，侧面是一个曲面，展开后是一个长方形。
需要对每个选项进行逐一分析：
选项A：上底面是一个圆，下底面是一个椭圆，不符合圆柱上、下底面是两个完全相同的圆这一特征，所以A选项错误。
选项B：上、下底面是两个完全相同的圆，侧面是一个曲面，符合圆柱的特征，所以B选项正确。
选项C：上底面是一个点，下底面是一个圆，这是圆锥的特征，不符合圆柱的特征，所以C选项错误。
选项D：六个面都是长方形，这是长方体的特征，不符合圆柱的特征，所以D选项错误。
【答案】：B