《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

关于x的方程$ax= b$的解的讨论
(1)当$a≠0$时,方程有唯一解$x= \frac{b}{a}$;
(2)当$a= 0且b= 0$时,方程有无数个解;
(3)当$a= 0且b≠0$时,方程无解。
例3
当m取什么整数时,关于x的方程$\frac{1}{2}mx-\frac{5}{3}= \frac{1}{2}×(x-\frac{4}{3})$的解是正整数?
解 本题应先求出方程的解,再根据这个解是正整数的条件,讨论m的取值情况。
答 去分母、去括号,得$3mx-10= 3x-4$,移项,得$3mx-3x= -4+10$,合并同类项,得$(3m-3)x= 6$。因为原方程有解,所以$m≠1$。上式两边都除以$(3m-3)$,得$x= \frac{2}{m-1}$。因为x是正整数,所以$m-1$是2的正约数,即$m-1= 1或m-1= 2$,所以$m= 2或m= 3$。
🔺技巧点拨
解含字母系数的一元一次方程的方法
解含字母系数(当方程中的系数是用字母表示时,这样的方程称为含字母系数的方程)的一元一次方程,要明确哪个字母是未知数,字母系数在解方程的过程中当成已知数来看。关于整数解的讨论,要把握数的整除特点,并灵活运用相应特点,切忌因盲目尝试而导致漏解。
变式3 见答案P214
是否存在整数k,使关于x的一元一次方程$(k-1)x= 4$的解是整数?若存在,求整数k的值。

答案： 【解析】：
本题要求找出使一元一次方程$(k-1)x= 4$的解是整数的整数k的值。
首先，我们根据一元一次方程的解法，当$k-1 \neq 0$时，可以解出x的表达式为$x = \frac{4}{k-1}$。
接着，为了使x为整数，我们需要考虑4的正约数。4的正约数有1，2，4，以及它们的负数-1，-2，-4。
因此，我们设$k-1$等于这些约数，即$k-1= \pm 1$，$\pm 2$，$\pm 4$，然后解出对应的k的值。
【答案】：
解：
当$k-1= 1$时，$k= 2$，此时$x= 4$；
当$k-1= -1$时，$k= 0$，此时$x= -4$；
当$k-1= 2$时，$k= 3$，此时$x= 2$；
当$k-1= -2$时，$k= -1$，此时$x= -2$；
当$k-1= 4$时，$k= 5$，此时$x= 1$；
当$k-1= -4$时，$k= -3$，此时$x= -1$。
故存在整数k，使关于x的一元一次方程$(k-1)x= 4$的解是整数，整数k的值为$-3$，$-1$，$0$，$2$，$3$，$5$。

例1 2023·永州中考
关于x的一元一次方程$2x+m= 5的解为x= 1$,则m的值为( )。
A. 3
B. -3
C. 7
D. -7
解 ∵$x= 1$是关于x的一元一次方程$2x+m= 5$的解,∴$2×1+m= 5$,∴$m= 3$。
答 A

答案： 【解析】：
题目考查了一元一次方程的解法，特别是根据方程的解来求解方程中的未知数。
题目给出了方程 $2x + m = 5$ 和它的解 $x = 1$，要求解出 $m$ 的值。
根据一元一次方程的解的定义，将 $x = 1$ 代入方程 $2x + m = 5$ 中，得到：
$2 × 1 + m = 5$
化简得：
$2 + m = 5$
进一步解得：
$m = 3$
【答案】：
A