《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

压轴1 有理数及其相关性质的应用
例1-1 难度★★★
下列说法中,正确的是______。(填序号)
①一个有理数的绝对值一定是正数;②正数和负数统称为有理数;③若$x+2$是一个负数,则x一定是负数;④若$|a-2|+(b+3)^{2}= 0$,则$-b^{a}$的值是-9。
解 ①一个有理数的绝对值是非负数,不正确;②整数与分数统称为有理数,不正确;③若$x+2$是一个负数,则x一定是负数,正确;④若$|a-2|+(b+3)^{2}= 0$,即$a= 2,b= -3$,则$-b^{a}$的值是-9,正确。
答 ③④

答案： 解：①一个有理数的绝对值是非负数，0的绝对值是0，不是正数，故①错误；
②整数和分数统称为有理数，正数、负数和0中，单独的正数和负数不能统称为有理数，故②错误；
③若$x + 2$是负数，则$x + 2\lt0$，解得$x\lt - 2$，所以$x$一定是负数，故③正确；
④因为$\vert a - 2\vert\geq0$，$(b + 3)^2\geq0$，且$\vert a - 2\vert+(b + 3)^2 = 0$，所以$a - 2 = 0$，$b + 3 = 0$，即$a = 2$，$b=-3$，则$-b^a=-(-3)^2=-9$，故④正确。
答：③④

例1-2 难度★★★★
若$|a|= a+2$,求$2015a^{2017}+2a^{2018}-3$的值。
答 (1)当$a＞0$时,$|a|= a+2可化为a= a+2$,此时a的值不存在；
(2)当$a= 0$时,$|a|= a+2可化为0= 2$,出现矛盾,所以$a≠0$；
(3)当$a＜0$时,$|a|= a+2可化为-a= a+2$,所以$a= -1$。
所以$2015a^{2017}+2a^{2018}-3= 2015×(-1)^{2017}+2×(-1)^{2018}-3= -2015+2-3= -2016$。

答案： 解：
(1)当$a＞0$时，$|a|=a+2$可化为$a=a+2$，此时方程无解；
(2)当$a=0$时，$|a|=a+2$可化为$0=2$，方程无解；
(3)当$a＜0$时，$|a|=a+2$可化为$-a=a+2$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入$2015a^{2017}+2a^{2018}-3$得：
$2015×(-1)^{2017}+2×(-1)^{2018}-3=2015×(-1)+2×1-3=-2015+2-3=-2016$。
答案：$-2016$

例2 难度★★★★★
已知A,B在数轴上对应的数分别用a,b表示,且$(\frac {1}{2}ab+100)^{2}+|a-20|= 0$,P是数轴上的一个动点。
(1)在如图2-3的数轴上标出点A,B的位置,并求出点A,B之间的距离；
(2)已知线段OB上有一点C且$|BC|= 6$,当数轴上有点P满足$PB= 2PC$时,求P点对应的数；
(3)动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度,第二次向右移动3个单位长度,第三次向左移动5个单位长度,第四次向右移动7个单位长度,……。点P能移动到与点A或点B重合的位置吗？若都不能,请直接回答;若能,请直接指出,第几次移动,与哪一点重合。

答 (1)因为$(\frac {1}{2}ab+100)^{2}+|a-20|= 0$,所以$\frac {1}{2}ab+100= 0,a-20= 0$,所以$a= 20,b= -10$,所以$AB= 20-(-10)= 30$。在数轴上标出点A,B的位置如图2-4所示。

(2)因为$|BC|= 6$且点C在线段OB上,所以$x_{C}-(-10)= 6$,所以$x_{C}= -4$。因为$PB= 2PC$,当点P在点B左侧时,$PB＜PC$,此种情况不成立；当点P在线段BC上时,$x_{P}-x_{B}= 2(x_{C}-x_{P})$,所以$x_{P}+10= 2(-4-x_{P})$,解得$x_{P}= -6$；当点P在点C右侧时,$x_{P}-x_{B}= 2(x_{P}-x_{C})$,$x_{P}+10= 2x_{P}+8$,解得$x_{P}= 2$。综上所述,P点对应的数为-6或2。
(3)第一次点P表示-1,第二次点P表示2,后依次为-3,4,-5,6,…,则第n次为$(-1)^{n}\cdot n$,点A表示20,则第20次点P与点A重合;点B表示-10,点P与点B不重合。

答案： 【解析】：
(1) 题目给出了方程$\left(\frac{1}{2}ab + 100\right)^2 + |a - 20| = 0$，要求解$a$和$b$的值，并计算点$A$和点$B$之间的距离。
(2) 题目给出了点$C$在线段$OB$上，且$|BC| = 6$，要求找到满足$PB = 2PC$的点$P$的坐标。
(3) 题目描述了点$P$的移动规律，要求判断点$P$是否能与点$A$或点$B$重合，若能，指出第几次移动与哪一点重合。
【答案】：
(1) 解方程$\left(\frac{1}{2}ab + 100\right)^2 + |a - 20| = 0$，
$\therefore \frac{1}{2}ab + 100 = 0$，$a - 20 = 0$，
$\therefore a = 20$，$b = -10$，
$\therefore AB = 20 - (-10) = 30$。
在数轴上标出点A、B的位置如图2-4所示。
(2) $\because |BC| = 6$且点C在线段OB上，
$\therefore x_C - (-10) = 6$，
$\therefore x_C = -4$。
$\because PB = 2PC$，
当点P在点B左侧时，$PB ＜ PC$，此种情况不成立；
当点P在线段BC上时，$x_P - x_B = 2(x_C - x_P)$，
$\therefore x_P + 10 = 2(-4 - x_P)$，
解得$x_P = -6$；
当点P在点C右侧时，$x_P - x_B = 2(x_P - x_C)$，
$\therefore x_P + 10 = 2(x_P + 4)$，
解得$x_P = 2$。
综上所述，P点对应的数为-6或2。
(3) 第一次点P表示-1，第二次点P表示2，后依次为-3，4，-5，6，…，
则第n次为$(-1)^n \cdot n$，
点A表示20，则第20次点P与点A重合；
点B表示-10，点P与点B不重合。