《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

例1-4
在直线l上有四点A,B,C,D,已知AB= 24,AC= 6,D是BC的中点,求线段AD的长。
答 分两种情况讨论：①如图6-1-14所示,当点C在线段AB的反向延长线上时,得BC= AB+AC= 24+6= 30。

由D是BC的中点,得CD= 1/2 BC= 15。所以AD= CD-AC= 9。②如图6-1-15所示,当点C在线段AB上时,得BC= AB-AC= 24-6= 18。

由D是BC的中点,得CD= 1/2 BC= 9。
所以AD= CD+AC= 15。
综上所述,线段AD的长为9或15。
技巧点拨
求线段的长时,若出现以下两种情况：①题目中没有给出图形或给出的图形不完整；②条件中出现“点…在直线…上”,则一般需要分类讨论。应注意分析相关点或线段所处位置的各种情况,分别画出图形,通过转化为线段的和、差求解。

答案： 解：分两种情况讨论：
①当点C在线段AB的反向延长线上时，BC=AB+AC=24+6=30。
由D是BC的中点，得CD=1/2BC=15。所以AD=CD-AC=15-6=9。
②当点C在线段AB上时，BC=AB-AC=24-6=18。
由D是BC的中点，得CD=1/2BC=9。所以AD=AC+CD=6+9=15。
综上所述，线段AD的长为9或15。

变式2 见答案P219
有两根木条,一根长80 cm,另一根长60 cm,把它们的一端重合放在同一直线上,此时两根木条中点的距离是( )。

A.10 cm
B.70 cm或10 cm
C.20 cm
D.70 cm或20 cm

答案： B

例2
(1)一条线段AB上有1个点$P_1,$共有______条线段；
(2)一条线段AB上有2个点$P_1,P_2,$共有______条线段；
(3)一条线段AB上有3个点$P_1,P_2,P_3,$共有______条线段；
(4)一条线段AB上有n个点$P_1,P_2,P_3,…,Pₙ,$共有______条线段。(不包括线段两个端点)
解 (1)有3条线段：$AP_1,AB,P_1B,$即2+1= 3(条)；(2)有6条线段：$AP_1,AP_2,AB,P_1P_2,P_1B,P_2B,$即3+2+1= 6(条)；(3)有10条线段$,AP_1,AP_2,AP_3,AB,P_1P_2,P_1P_3,P_1B,P_2P_3,P_2B,P_3B,$即4+3+2+1= 10(条)；(4)由以上分析可知,有(n+1)+n+…+2+1= (n+2)(n+1)/2 (条)线段。
答 (1)3 (2)6 (3)10 (4)(n+2)(n+1)/2

答案： 【解析】：
这个问题主要考查的是组合数学的基本思想，即从n个不同元素中取出两个元素的组合数。在这个问题中，线段上的每一个点都可以与线段上的其他点（包括线段的两个端点）组成一条线段。
(1)当线段AB上有1个点$P_1$时，可以组成的线段有：$AP_1$，$AB$，$P_1B$，共3条，也就是2+1=3条。
(2)当线段AB上有2个点$P_1$，$P_2$时，可以组成的线段有：$AP_1$，$AP_2$，$AB$，$P_1P_2$，$P_1B$，$P_2B$，共6条，也就是3+2+1=6条。
(3)当线段AB上有3个点$P_1$，$P_2$，$P_3$时，可以组成的线段数量依此类推，为4+3+2+1=10条。
(4)当线段AB上有n个点$P_1$，$P_2$，...，$P_n$时，可以组成的线段数量就是$(n+1)+n+...+2+1=\frac{(n+2)(n+1)}{2}$条。
【答案】：
(1)3
(2)6
(3)10
(4)$\frac{(n+2)(n+1)}{2}$