《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

解决与单项式、多项式相关概念的问题时,多数情况下,先根据相关概念或已知条件列出相关字母的等式,通过解方程确定出字母的值。
例1
若$(m-3)x^{|m|-1}y^{2}-(n-2)xy^{2}+x^{2}+4是关于x,y$的四次三项式,则$m= $______,$n= $______。
思路引导

解 由题意知多项式中次数最高项的次数是4,所以$|m|-1+2= 4$,$m-3\neq0$,所以$m= -3$。由题意知多项式共有三项,所以$n-2= 0$,所以$n= 2$。
答 -3 2

答案： 解：因为多项式是关于$x$，$y$的四次三项式，
所以次数最高项的次数为$4$，即$|m| - 1 + 2 = 4$，且该项系数$m - 3 \neq 0$。
由$|m| - 1 + 2 = 4$，得$|m| = 3$，$m = \pm 3$。
又因为$m - 3 \neq 0$，所以$m \neq 3$，故$m = - 3$。
因为多项式共有三项，而$-(n - 2)xy^2$若系数不为$0$则为一项，所以$-(n - 2)xy^2$的系数必须为$0$，即$n - 2 = 0$，解得$n = 2$。
答：$m = - 3$，$n = 2$。

解答与单项式有关的规律探究题,应从所给单项式的符号、系数、指数等方面入手,分别找出其中蕴含的规律,从而解决问题。
例2
观察下列单项式：$\frac{1}{3}a,-\frac{3}{5}a^{2},\frac{5}{7}a^{3},-\frac{7}{9}a^{4},…,-\frac{19}{21}a^{10},…$。
(1)写出第100个、第2023个单项式；
(2)写出第$n$个单项式($n$为正整数)。
思路引导

答 (1)第100个单项式是$-\frac{199}{201}a^{100}$,第2023个单项式是$\frac{4045}{4047}a^{2023}$。
(2)第$n个单项式为(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{2n+1}a^{n}$。
技巧点拨
根据多项式的次数为次数最高项的次数,单项式的次数为所有字母指数的和,进行列式求值。
方法总结
求解多项式中的字母的值时,要根据多项式的次数或系数列出含有字母的等式,先求出字母的值再解决其他问题。

答案： 解：
(1)观察所给单项式，符号规律为：奇数项为正，偶数项为负；系数的分子为从1开始的奇数，即第n项分子为$2n - 1$；分母为从3开始的奇数，即第n项分母为$2n + 1$；字母$a$的指数为项数n。
第100个单项式，因为100是偶数，所以符号为负；分子为$2×100 - 1 = 199$；分母为$2×100 + 1 = 201$；$a$的指数为100。故第100个单项式是$-\frac{199}{201}a^{100}$。
第2023个单项式，因为2023是奇数，所以符号为正；分子为$2×2023 - 1 = 4045$；分母为$2×2023 + 1 = 4047$；$a$的指数为2023。故第2023个单项式是$\frac{4045}{4047}a^{2023}$。
(2)由上述规律可得，第n个单项式的符号为$(-1)^{n + 1}$，系数为$\frac{2n - 1}{2n + 1}$，$a$的指数为n，所以第n个单项式为$(-1)^{n + 1}\frac{2n - 1}{2n + 1}a^{n}$。
(1)第100个单项式是$-\frac{199}{201}a^{100}$，第2023个单项式是$\frac{4045}{4047}a^{2023}$；
(2)第n个单项式为$(-1)^{n + 1}\frac{2n - 1}{2n + 1}a^{n}$。

变式1 见答案P213
已知多项式$-2^{4}x^{2}y^{m}-3x^{4}y-10$是七次三项式,单项式$2xy^{n}$的次数与这个多项式的次数相同,求$2m-3n$的值。

答案： 解:根据题意,得2+m=7,1+n=7,所以m=5,n=6,所以2m−3n=2×5−3×6=−8。

变式2 见答案P213
观察下列单项式：$xy,-2x^{2}y,4x^{3}y,-8x^{4}y,16x^{5}y,…$。
(1)按它们排列的规律写出第9个单项式；
(2)试猜想第$n$个单项式是什么,它的系数和次数分别是什么？

答案： 解:
(1)第9个单项式是(−2)⁹⁻¹x⁹y,即256x⁹y。
(2)第n个单项式为(−2)ⁿ⁻¹xⁿy。它的系数是(−2)ⁿ⁻¹,次数是n + 1。