《2025年教材完全解读七年级数学上册苏科版》

例1
如图3-1-2,求由两个正方形拼成的图形中阴影部分的面积。

解 阴影部分的面积= 两个正方形的面积-三个直角三角形的面积。
答 $S_{阴影}= a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}(a+b)b-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}(b-a)b$。

答案： 【解析】：本题主要考查利用字母表示数来计算图形的面积。通过分析图形可知，阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去三个直角三角形的面积。需要分别求出两个正方形的面积以及三个直角三角形的面积，再用前者减去后者得到阴影部分面积，最后对所得式子进行化简。
【答案】：
解：两个正方形的面积分别为$a^{2}$和$b^{2}$。
第一个直角三角形（底为$a + b$，高为$b$）的面积为$\frac{1}{2}(a + b)b$；
第二个直角三角形（底为$a$，高为$a$）的面积为$\frac{1}{2}a^{2}$；
第三个直角三角形（底为$b - a$，高为$b$）的面积为$\frac{1}{2}(b - a)b$。
则$S_{阴影}= a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}(a + b)b-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}(b - a)b$
$=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}b^{2}+\frac{1}{2}ab$
$=\frac{1}{2}a^{2}$
所以阴影部分的面积为$\frac{1}{2}a^{2}$。

用字母表示图形的面积的步骤
(1)观察图形的特征；
(2)明确字母在图形中所表示的意义；
(3)运用相关图形(如圆、长方形、三角形等)的面积公式表示面积,当图形的面积不能根据面积公式直接表示时,则可用可以表示的图形的面积的和或差来表示。
技巧点拨
把边长分别为a和b的正方形拼成的图形看作一个整体,阴影部分的面积等于这个整体的面积减去三个直角三角形的面积。
易错警示：
不能正确理解题意,表达出阴影部分的面积,或在表达时写成了$S_{阴影}= a·a+b·b-\frac{1}{2}(a+b)·b-\frac{1}{2}(a·a)-\frac{1}{2}(b-a)·b$,要注意字母与字母相乘时,乘号尽量省略,且相同字母相乘时,一般用乘方来表示,如$a·a= a^{2}$。
变式1 见答案P212
如图3-1-4,把一块长、宽分别为a,b的长方形铁片的四角各剪去一个边长为2的小正方形(4＜b＜a),然后做成一个无盖的长方体盒子,用字母表示出该长方体盒子的底面积和容积。

答案： 1. 解:由于长方体的底面长为a-2×2,宽为b-2×2,长方体的高为2,所以这个长方体盒子的底面积是(a-2×2)(b-2×2)=(a-4)(b-4),容积是2(a-4)(b-4)。2. C 【解析】观察数的位置,发现规律:被4除余数是1的排在D位,被4除余数是2的排在A位,被4除余数是3的排在B位,被4整除的排在C位。20÷4=5,所以20排在C位。